万有引力定律的应用

2020/5/261万有引力定律的应用2．宇宙速度Ⅰ1．万有引力定律应用．人造地球卫星的运动（限于圆轨道）Ⅱ考纲要求一、基本规律1、开普勒三定律：（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上（2）开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳之间的连线，在相等的时间内扫过相同的面积。（3）开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。数学表达式：kTR23或者32323131TRTRk值与行星无关，只与太阳有关；也适用与其他天体，如绕地球飞行的卫星2、万有引力定律：宇宙间任意两个有质量的物体间都存在相互吸引力，其大小与两物体的质量乘积成正比，与它们间距离的平方成反比。（1）内容：（2）表达式：2rmGmF21（3）引力常数：2211/1067.6kgmNG（4）r的含义：适用于两个质点间的万有引力大小计算，对于质量分布均匀的球体，r就是它们球心间的距离。⒈天体运动近似看成匀速圆周运动，万有引力提供向心力2MmGr22mrT2mr3.天体表面的物体所受万有引力近似等于物体的重力2mMGmgR（黄金代换式）二、基本思路=ma2v=mr2.高空中的物体所受万有引力等于物体在高空中所受的重力22rGMggmrGMm2gRGM⒈天体的质量及密度的估算：三、常见题型【例1】已知某卫星绕地球运动的周期T，卫星绕地球运动的轨道半径r,引力常量G（1）求地球的质量M（2）若又知地球的半径R，求地球的平均密度ρ【例2】卡文迪许根据地球表面的重力加速度g，地球的半径R第一次估算出（1）地球的质量（2）地球的平均密度，试试看你也可以.⒉卫星的运行速度v、角速度、周期T、向心加速度a与半径r的关系22,MmvGMGmvrrr(1)由得，223,MmGMGmrrr(2)由得，23222,MmrGmrTrTGM(3)由得，22,MmGMGmaarr(4)由得，三、常见题型某卫星绕地球作匀速圆周运动已知地球的质量M，卫星绕地球运动的轨道半径r,引力常量G，请推导v、、T、a与r的关系【例3】探测器探测到土星外层上有一个环．为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离r之间的关系来确定（）A．若v∝r，则该环是土星的一部分B．若v2∝r，则该环是土星的卫星群C．若v∝1/r，则该环是土星的一部分D．若v2∝1/r，则该环是土星的卫星群AD【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（）A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的CD3.地球的同步卫星（通信卫星）三、常见题型3.地球的同步卫星（1）定义：相对于地面静止的和地球自转同步的卫星（3）特点：周期为T=24h（与地球自转周期相同）（通信卫星）（4）位于赤道正上方，离地面高度、线速度、角速度、周期、加速度是一定的（2）轨道：与赤道共面同心圆三、常见题型4.宇宙速度(1)第一宇宙速度（环绕速度）推导Ⅰ推导ⅡsKmv/9.71是人造地球卫星在圆形轨道时运行的最大环绕速度是发射人造卫星的最小发射速度(2)第二宇宙速度（脱离速度）sKmv/2.112(3)第三宇宙速度（逃逸速度）sKmv/7.163三、常见题型脱离地球束缚的最小发射速度脱离太阳束缚的最小发射速度5.双星问题Mm【例5(01·安徽)】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．解：对M研究对m研究2224TMrRMmGMπ2224TmrRMmGmπ解得2324GTRmMπ三、常见题型【例6】（04全国）)在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T，火星可视为半径为r0的均匀球体．四、走近高考gmrmGM202224TmrrGMmπ2022121vmvmghm20202228vrThrvπ解：研究卫星研究地面上的物体有机械能守恒得解得【例7】(06广东)宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m．①试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．②假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间距离为多少？四、走近高考解：⑴第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得：,解得：,；22222(2)mmvGGmRRR54GmvR2π4π5RRTRvGm⑵第二种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2222π2cos30=()2cos30mlGmlT，325Rl解得【例8】（06江苏）如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ωo，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．⑴求卫星B的运行周期；⑵如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？四、走近高考2222BMmMmGmRhGmgTRRh解：(1)由和得322,BRhTgR⑵232,BBgRTRh200322.BtgRRh02,Btt浩瀚宇宙我们能走多远？同步卫星离地球球心的距离为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则()A.a1:a2=r:RB.a1:a2=R2:r2C.v1:v2=R2:r2D.r:Rv:v213.地球的同步卫星（通信卫星）三、常见题型若已知地球表面的重力加速度g，地球半径R，地球自转的周期T，求地球同步卫星距地面的高度h.3.地球的同步卫星（通信卫星）三、常见题型2224)(ThRmhRGMmπ2gRGMRTgRh32224π⒈天体的质量及密度的估算：222MmGmrrT由2324rMGT，得343MR由得3233,rGTRr为天体的轨道半径，R为天体的半径．三、常见题型【例1】（2000北京春招）地核的体积约为整个地球体积的16％，地核的质量约为地球质量的34％，经估算，地核的平均密度为＿＿＿＿(结果取两位有效数字)．已知地球表面g=9.8m/s2，，．mR6104.6地11226.710/GNmkg2MmGmgR地地，解：2gRMG地地，343MR地地地，3,4gGR地地431.210kg/m30.3440.163MR地核地，4331.210kg/m4gGR核地0.34=，0.163.地球的同步卫星1.定义：相对于地面静止的和地球自转同步的卫星3.特点：周期为T=24h（与地球自转周期相同）（通信卫星）4.离地面高度是一定的,位于赤道正上方h=3.6×107m处，不可能在与赤道平行的其他平面上.2.轨道：半径为r=4.24×104km，与赤道共面同心5.线速度大小为v=rω0=3.08×103m/s，为定值，绕行方向与地球自转方向相同.三、常见题型【例4】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示．则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（）A．卫星在轨道3上的线速度大于在轨道1上的线速度．B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度．C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度．D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度．PQ123BD卫星轨道的变换小结：1、A点加速，卫星作离心运动进入2轨道，所以2轨道上的A点速度大干1轨道上A点的速度．2、A点到B点卫星克服引力作功，卫星动能变小，速度变小．3、2轨道上B点提供的向心力大于所需的向心力，要被拉回，所以当卫星在B点时加速，当速度满足，所需的向心力等于提供的向心力，就进入3轨道，B点2轨道上的速度小干3轨道上的速度．4、因为1、3轨道都是匀速圆周运动，则r越大v越小，所以1轨道上的速度大干3轨道上的速度．【例5】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同C．它们的向心加速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同A【例6】地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则：()A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度；B．a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。22234cbarAD【例8】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60．设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有……经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600．上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果．mgrGMm2解析：题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度．正确的解法是卫星表面，行星表面，即即g=0.16g0．2GmgR020GMgR200()RmgRMg【例10】（2006天津25）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其它天体的影响，AB围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．⑴可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’（用m1、m2表示）；⑵求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；⑶恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v＝2.7×105m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10－11N·m2/kg2，ms＝2.0×1030kg）