线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为aij=|i－j|的n阶行列式.解方法1由题设知，11a=0，121a，1,1,nan，故011102120nnnDnn1,1,,2iirrinn011111111n1,,1jnccjn1211021(1)2(1)020001nnnnnn其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．方法2011102120nnnDnn11,2,,1111111120iirrinnn12,,1001201231jccjnnnn=12(1)2(1)nnn例2.设a,b,c是互异的实数,证明:的充要条件是a+b+c=0.证明:考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前的系数.于是=所以的充要条件是a+b+c=0.例3计算Dn=121100010nnnxxaaaxa解：方法1递推法按第1列展开，有Dn=xD1n+（－1）1nan11111nxxx=xD1n+an由于D1=x+a1，2211xDaxa，于是Dn=xD1n+an=x（xD2n+a1n）+an=x2D2n+a1nx+an==x1nD1+a2x2n++a1nx+an=111nnnnxaxaxa方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，，第n列的x1n倍分别加到第1列上12cxcnD21121010010000nnnnxxxaxaaaxa213cxc32121231010000100010nnnnnnxxxaxaxaaaaxa==0111xfxnr按展开1(1)nf1111nxxx=111nnnnxaxaxa方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．Dn21321111nnccxccxccx1122000000000nnnnnnnxxxaaaaaakxxxn按c展开x1nkn=x1n(1nnxa+21nnxa++xa2+a1+x)=111nnnnaaxaxx方法4nrnD按展开1(1)nna1000100001xx+21(1)nna0000100001xx++212(1)na1000000001xx+21(1)()nax100000000xxx=（－1）1n（－1）1nan+（－1）2n（－1）2na1nx++（－1）12n（－1）a2x2n+（－1）n2(a1+x)x1n=111nnnnaaxaxx例4．计算n阶行列式：11212212nnnnnabaaaabaDaaab(120nbbb)解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,naaa，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000nnnnnnaaaabaaDaabaaaab升阶213111nrrrrrr12121100100100nnaaabbb1112,,1jjccbjn111211121000000000nnaaaaabbbbb=1121(1)nnnaabbbbb这个题的特殊情形是121212nnnnaxaaaaxaDaaax=11()nniixxa可作为公式记下来．例5．计算n阶“三对角”行列式Dn=00010001000001＋解方法1递推法．Dn1按c展开()D1n—(1)00001000001n1按r展开()D1n－D2n即有递推关系式Dn=()D1n－D2n(n3)故1nnDD＝12()nnDD递推得到1nnDD＝12()nnDD＝223()nnDD＝＝221()nDD而1()D，2D＝β+α1αββ+α＝22，代入得1nnnDD1nnnDD（2.1）由递推公式得1nnnDD＝12()nnnD＝α2D2n＋1nn＝＝n＋1n＋＋1nn＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(nαβαβ111nnn方法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式Dn=00010001000001＋＋00010001000000001上式右端第一个行列式等于αD1n，而第二个行列式0001000100000000112,,iicacin0000100001000001=βn于是得递推公式1nnnDD，已与（2.1）式相同．方法3在方法1中得递推公式Dn=()D1n－D2n又因为当时D1==2221D=2()=22=33D3=1010=3()-2()=()22()=44于是猜想11nnnD，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当nk时成立．当n=k+1是，由递推公式得D1k=()Dk－D1k=()11kk—kk=22kk所以对于nN，等式都成立例6．计算n阶行列式：12111111111nnaaDa其中120naaa．解这道题有多种解法．方法1化为上三角行列式nD12,,irrin1121111naaaaa112,,jjaccajn21100nbaa其中11211niibaaa1111niiaa，于是nD12111nniiaaaa．方法2升阶（或加边）法121111011101110111nnaDaa升阶12,3,,1irrin121111100100100naaa11111121,2,,1121111111jjnijccannjniinaaaaaaaa方法3递推法．将nD改写为1211101110111nnaaDan按c拆开12111111111aa[phone]naaa由于12111111111aa1,,1inrrin12111aa121naaa1211011011naaan按c展开1nnaD因此nD=1nnaD121naaa为递推公式，而111Da，于是nD=1nnaD121naaa=12naaa11211nnnDaaaa=12naaa2122111nnnnDaaaaa==12naaa11211nDaaa=12naaa121111naaa