chapt6量子力学的矩阵形式及表示理论

第六章量子力学的矩阵形式及表示理论§6.1量子体系状态的表示在几何学中，一个矢量可以用它在某个坐标架中的坐标来描述（现限于正交坐标）显然，当坐标架给定后332211aeaeaeA++=)e,e,e(321是与矢量完全等价的.当然可另选一坐标系，则矢量为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321aaa)Aea(ii⋅=A)e(i′同样，与等价。所以，我们可以用某一坐标系中的坐标来完全描述空间某一矢量。而同一矢量在二坐标系中的坐标之间有特定的关系。例如：新坐标系是绕原坐标系Z轴转而获得{}ia′Aα∑′′=iiiaeAρ12sinaαρ=′ααsinacosa12−=33aa=′11cosaαρ=′ααsinacosa21+=33aa=′⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛′′′321321aaa1000cossin0sincosaaaαααα⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321zaaa)(Rα类似地，绕y轴转角，则有β⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛′′′321321aaacos0sin010sin0cosaaaββββ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321yaaa)(Rβ普遍而言，先绕z转，再绕新y转(即N轴)，再绕新z轴(即)转，这时事实上，αβz′γ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛′′′′321zNz321aaa)(R)(R)(Raaaαβγ)(R)(R)(R)(R)(R)(R1N1zzzNzβαγαβγ−−′=而而且可以看到)(R)(R)(R)(R1zyzNαβαβ−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛′′′−−−321zN1N1zzz1zyz321aaa)(R)(R)(R)(R)(R)(R)](R)(R)(R[aaaαββαγααβαy3z12zaR(aa)R()R()⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠αβγ†zzR()R()αα⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=ααααcos0sin010sin0cos⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅ααααcos0sin010sin0cosI100010001=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=这表明，是一幺正矩阵†zzR()R()Iαα=)α(Rz现来讨论一下体系状态的“坐标”—状态表示如果有一组力学量构成一力学量完全集，其共同本征态构成一正交，归一和完备组，并有封闭性。ˆM()mnnm,δϕϕ=)rr()r()r(*mmm′−=′∑δϕϕ显然，当选定一组力学量完全集后，则集合是与完全等价的，它完全确定了体系的状态∫′′Ψ′−=rd)r()rr()r(δψ∑=mmma)r(ϕ∫Ψ=′′Ψ′=),(rd)r()r(am*mmϕϕˆM{}maΨ我们将会看到，与一样，提供我们同样多的信息。状态表示的定义：若力学量的完全集的共同本征函数组为，则的全体，被称为体系所处态在表象中的表示。也可以看作态矢量在作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”。{}maΨMˆmϕ),(ammΨ=ϕ{}maΨMΨmϕ的本征函数为，它是力学量的共同本征函数。对于任何一个态，都能按它展开所以，是状态在表象中相应的本征值为的表示。rˆ)rr(δ)r(φr′−=′)z,y,x()r(rd)r()r(),(*rr′Ψ=Ψϕ=Ψϕ∫′′ra′=)r(′ΨΨrr′对于分立谱：则在表象中的表示，可以用一单列矩阵表示而归一化ψM{}ma12aaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠Mmmnnmmn2mau(r)au(r)()adr,∗∗=ψψ=∑∑∑∫对于连续谱：则在表象中的表示，它是的函数1122a(a,a)a∗∗⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMΨα{}αaαa(r)a(r)dr)d(,d∗∗′αααα′ϕϕαψ=αψ∫2ad1α=α=∫†aa1=§6.2Dirac符号介绍一个态矢量可由一组数表示，但在表示（或计算）时，其实已用到态矢量在表象中的表示及表象的共同本征矢的表示。{}mamarrr(,)(rr)(r(r))dr′′′ϕψ=δ−ΨΨ=∫mma(r)(r)dr∗=ΦΨ∫事实上，描述体系所处的状态，并不需要依赖于某一表象。而仅在计算时，在一个具体表象中进行。Dirac建议用一抽象的符号来描述体系所处的状态.（1）量子态、ket矢，bra矢rmmm(,)(rr)(r)dr(r)′′′ϕΦ=δ−ΦΦ=∫量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢量，我们称为ket矢以表示.为使它可代表不同ket矢，则在这表示中给出特征标志符号。如态矢量是的本征矢，它的本征值为N，则本征矢可表为中心力场中能量的本征波函数NNˆ)r(unlm⇒nlm共轭空间态矢量可以以符号来表示，称为bra矢，如nlmEnlmHˆnl=nlm)1l(lnlmLˆ22O+=nlmmnlmLˆzO=Nnlm（2）标积：A.标积定义：矢量和矢量的标积为一数，它表示为),(nmnmnmψϕ=⋅=mn1mm=mnnm*=B．基矢的正交、归一、完备和封闭性；态矢量的表示若力学量形成一力学量完全集　　共同本征态为被称为表象的基矢相应本征值为，它是正交、归一NˆnnNN))cc(cc(nnnn′−=′=′′δδ或完备性：对任一空间态矢量，可表为称为态矢量在N表象中的表示α()nnnaαα=∑)(naαα()nanα=α封闭性：在x表象中，的表示即为∑=nnnαα。α)x(xαψα=nnnI=∑xdxxI=∫若就是N表象的本征矢，那在自身表象中的表示αnnn)n(nnna′′=′=δ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=′010a)n(n00行第n←),2,1n(//=′N表象中的基矢在表象中的表示即为而代表表象中的基矢（本征值为)在N表象中的表示这样，在坐标表象中，本征函数组，即基矢的正交、归一，完备和封闭性就易于了解。xnxn(x)=ϕxnxxx*n*xnnx(n)x()=η==ϕ由本征矢的封闭性：Ⅰ即∑=nnnxxxnnxn′=′∑n*nnn(x)(x)(xx)′′ϕϕ=δ−∑*xxn(n)(n)(xx)′′ηη=δ−∑而二个矢量的标积∑=nnnψϕψϕ∑=nn*nba()1†21233bba,a,a,abb∗∗∗⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟=⎝⎠LM（3）算符及其表示A.算符的自然展开：在量子力学中，可观测力学量是以厄密算符表示，其本征方程为对任意一个态矢量可按展开*(x)(x)dxxdxx=ϕϕψψ=∫∫nnnLLLLˆ=LLLLˆ=或αnLααnnnnLLaL∑∑==于是有由于是任意态，所以有或∑=nnnLLLˆLˆαα∑=nnnnLLLαα∑=nnnnLLLLˆdLLLLLˆ∫=事实上，这即定义了一个算符，或称为算符的自然展开。这将使厄米算符的函数的定义更广。若则可定义厄米算符的函数它的自然展开即为nnnF(x)fx=∑nnnˆˆˆF(A)fA=∑LˆLˆ我们可用这表示式来定义厄米算符的函数。例如：算符的逆算符是算符的函数。但是，它不能用幂级数展开来定义。但我们可用算符的自然展开来定义它。逆算符可定义为1ˆA−1ˆA−ˆAˆAnnn1n1AˆAAA−=∑nmnmmmnmmmmˆF(A)AF(A)AAf(A)A==∑∑∑显然，这一定义是正确的。因1nnnnnnnnnnnn11ˆˆˆAAAAAAAAAAAAI−====∑∑∑1nnnn*nnnnnnnnnnnnn1ˆˆˆAAAAAA11AAAAAAAAAAI−=====∑∑∑∑B.算符的表示算符是将一态矢量变为另一态矢量设：是一力学量完全集，其正交，归一，完备组基矢为则LˆˆRLN=AˆnαNLˆRmmmnnαααα∑=和分别是态矢量，在表象中的表示。而是将态矢量表示变到态矢量表示，所以它起到算符同样的作用。的全体称为算符在表象中的矩阵表示。显然，计算这一表示，其结果与在那一个表象中计算是无关的RnαNmαRNAmnLˆααNRLˆnmˆLααA例在表象中计算态矢量和算符在表象中的表示和矩阵元rARrrdrRnn∫=ααrd)r()r(VR*nϕα∫=nR(V,)α=ϕRna=同理mm*NmmNNNV(r)(r)(V,)drbααψα=ψ==∫∴RNnnmmmˆa(L)b=∑mnmnrrdrLˆrrdrLˆαααα′′′=∫rdrd)r(V)Lˆ)(r(Vmnrr*′′=α′α∫rLˆr)Lˆ(rr′=′nnnnrLLLr′=∑)r(uL)r(un*nnn′∑=)r(u)r(u)i,r(Lˆn*nn′∑∇−=OˆL(r,i)(rr)′=−∇δ−h为力学量在表象中的算符。ˆL(r,i)−∇hLˆrrd)r(V))rr()i,r(Lˆ(rd)r(Vmn*′′′−δ∇−∫=ααOnm*ˆV(r)L(r,i)V(r)drαα−∇=∫hnmˆLααnmˆrdrrLrdrr′′′=αα∫事实上，矩阵描述了表象的本征态，即基矢，在算符作用下，所得到的新的态矢量在表象中的表示。()nmLAmαˆLA即这表明，表象的基矢在作用下所产生的新的态矢量在表象中的表示正是算符在表象中矩阵表示的第列元素集合nnnmnmnmnˆLˆLL=αααα=α∑∑m1223m31mmLLˆLLα=α+α+α+LAmαLˆAˆLAm于是，我们求算符在某表象中的矩阵表示。只要将它作用于该表象的基矢上，将所得态矢量在该表象中的展开系数所形成的矩阵转置，即得在该表象中的表示。ˆLˆL/+++=3132121111LLLLˆαααα/+++=3232221212LLLLˆαααα/+++=3332321313LLLLˆαααα0其系数矩阵为：转置这即为在表象中的矩阵表示显然，算符在其自身表象中的表示为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛/////22122111LLLL11122122LLLL⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLLLL111Aˆααα=222Aˆααα=ˆA系数矩阵为，转置同。所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。333Aˆααα=01230000000α⎛⎞⎜⎟α⎜⎟⎜⎟α⎜⎟⎝⎠LLLLLL例：给出方程在表象中的表示式)x(x)x(ψϕ=xPˆψϕxˆPPxx=ψxxxxPPPdPxˆPbx′′′=∫xPPPPda)xˆ(xxx′=′′∫①dxPxxxPPxˆP)xˆ(xxxxPPxx′=′=∫′xxiPxiPx1exedx2′−=π∫hhhdxe21Pix)PP(ixxx∫−′∂∂=OOOπ)PP(Pixxx−′∂∂=δO)PP(Pixxx′−∂∂=δO②由(由函数性质）xxPPPxˆP)xˆ(xx′=′xxxxxxxiPˆˆP[P,x]PPi(PP)′′=−=δ−′−hhxxxxxxxxˆˆˆˆPPxxPPˆ(PP)PxP′=−′′=−δp(p)(p)′δ=−δ)PP(PiPxˆPxxxxx′−δ∂∂=′O并由此可推论，由于是任意态，所以在表象中，算符的形式为6.16.26.3xxpxpapib∂∂=OψxPxˆxPi∂∂OxPxxxpPda)pp(pibxx′′−δ∂∂=′∫O(3)表象变换：用Dirac符号给出表象变换特别方便。而且可以看出，在某表象中的表示是不因计算方式不同而不同。A.同一状态在不同表象中表示间的关系对于态在表象中，其表示为ψFnfnaf=ψnnnfffFˆ=ψψnnnff∑=nfnnaf∑=就是态在表象中的表示在表象中其表示为于是，{}nfaψFGˆψααgbg=ψnffan=ψαααggfn∑=是将态矢量在表象中的表示，以表象中的表示来表达的变换。构成一矩阵形式αααggfbSn∑=αgfnSGSˆ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000//0212221121121bbSSSSaaF即矩阵的矩阵元正是表象基矢与表象基矢的标积，其第列，是表象中第个基矢在表象中的表示。GFSba=FGlGlFsˆnnnn††fffggfnn(SS)S(S)fggf′′αα′αααα==∑∑nnffnnff′==′δ†ggnnggn(SS)gffggg′′αααα′′αααα===δ∑因此，是一个幺正算符。同一态矢量在不同表象中的表示之间是通过一个幺正变换联系起来的。B.两表象的基矢之间关系Sˆ∑=αααnnfggf††ˆˆˆˆSSSSI==(