数学方法在土木工程中的应用

数学理论在土木工程中的应用1数学理论在土木工程中的应用摘要:在土木工程中，我们应用的很多公式，都是建立在数学理论的基础上推导而得。本文介绍了最小二乘法[2]在拟合曲线中的应用；矩阵[4]在计算张量中应用；微分方程[6]在建立平衡微分方程中的应用。通过这些介绍，使我们能够更好的了解数学理论的重要性。关键词：最小二乘法；矩阵；微分方程；弹塑性力学；土木工程Abstract:Incivilengineering,weappliedformulasarebasedonthemathematicaltheoryofderivationderived.Thisarticledescribestheapplicationoftheleastsquaresmethodofcure-fitting;matrixusedincalculatingtensor;differentialequationsinestablishingequilibriuma-pplications.Throughthesepresentations,sothatwecanbetterknowtheimportanceofthemathematicaltheory.Keywords:leastsquares;matrix;differentialequations;elastic-plasticmechanics;civilengineering0前言数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，可以理解为人类逻辑性训练的必要。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。今日，数学被使用在世界不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多以纯数学开始的研究，但之后会发现许多应用。在土木工程中，很多学科原理的推导都是建立在数学基础上，推导出的结果，使我们能够更好地解决工程实际问题，同时实际问题又会促进数学的发展和改革。1最小二乘法建立函数曲线的应用在土木工程实验中，为了揭示某些相关量之间的关系,找出其规律,往往需要求解其函数解析式，常通过实验得到一组数据，0011(,),(,),,(,)mmxyxyxy，寻求反映客观事物变化规律的函数关系()yfx的最佳近似表示式[1]()xys。在做岩土工程试验时，我们会得到一系列的数据，这些数据之间有什么关系？能反应什么问题？以及如何应用？遇到这些问题时，就需要我们把数据进行量化，建立各个参数之间的关系曲线，而最小二乘法在曲线拟合方面简单，快捷，准确性满足工程实际要求。研究土体电阻率与饱和度的关系，得到一组数据[3]（见表1）表1饱和度和电阻率数据Table1Saturationandresistivitydata饱和度riSx（）电阻率()()imy0.100.220.400.510.650.820.891.006202051648325232120通过描点画图(见图1)，数学理论在土木工程中的应用20500100000.511.5Sr图1土的电阻率与饱和度关系曲线Fig1Relationshipbetweensoilsresistivityanditssatuationdegree根据其关系曲线我们可以推导出其经验公式为-byax，用-byax进行曲线拟合，步骤如下：对-byax两边取对数得：lnyln-lnabx令lny,=ln=lnuAavx，则得，-uAbv由表1中数据计算出表2数据，如下：表2关系换算数据Table2Relationstranslateddataiviu-2.3026-1.5141-0.9163-0.6733-0.4308-0.1985-0.11650.00006.42975.32305.09994.41883.21893.13553.04452.9957现在可以用直线1sAbv拟合上述数据，得2.985A1.589b于是19.787a，-1.58919.787yx通过图1和拟合曲线函数可知，电阻率与饱和度呈幂函数关系,前者随后者增加而减小。当饱和度较小、土样处于干燥状态时，电阻率很高,饱和度的变化对电阻率影响很大。随着饱和度的增加，关系曲线出现拐点，电阻率变化趋于平缓。当土样趋于饱和时，电阻率无明显变化。2矩阵特征值和特征向量在弹塑性力学中的应用弹塑性力学是固体力学发展较早、且在实践中得到广泛应用的一个分支，是研究弹性与塑形物体变性规律的一门学科。它推理严谨、计算结果准确，是分析和解决工程技术问题的基础和依据，是土木工程专业的学生必学科目。在弹塑性力学由一点的应力分量为实数，应力张量为实对称张量，可知物体内任意一点的应力矩阵为实对称矩阵。根据线性代数中有关实对称矩阵对角形的有关定理和特征根、特征向量的性质，可确定应力主轴的存在。因此求一点的主应力问题就转化成求一点的应力矩阵的特征值和特征向量的问题。推导过程如下[4]：设应力张量ij的特征值为，特征向量为u，E为单位矩阵，根据线性代数的知识有下式成立()0ijEu上式有非零解的充分必要条件是det()0ijE展开有32123()()()0JJJ（2）其中123112233112222333311222122331112233122331222113222313312()()()()()2JJJ（3）简单表示为123()()()det()1()2iiiijjijjiJJJtr上式中的1J、2J、3J称为应力张量的三个不变分量。将它们带入式（3），解一元三次方程得到三个实根，就是所求应力矩阵的特征值，即主应力。相对于每个特征值的特征向量则为应力矩阵（4）（1）数学理论在土木工程中的应用3的三个主向，也就是主应力方向。知道了一点的主应力后，该点的应力状态可用主应力张量表示。取主平面为三个坐标面，有123000000ij用主应力表示的应力张量的不变量如下123123122331123()()()()JJJ（6）推导完毕。应力张量是描述变形物体内某点应力状态的一种二阶对称张量。已知土体某处应力张量，可以进行受力分析，再联合土体的边界条件，可以建立土体在力和边界下的数学模型，从而通过相关软件进行所求量的分析。3微分方程在弹性力学中的应用一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。定义式为'''()(,,,,)0nfxyyy，未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程[6]。在弹性力学中推导平面问题的平衡微分方程要用到微分方程，推导过程如下：从物体上取出一个微小的正平行六面体[5]，它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，图3。为了计算方便，它在z方向的尺寸取为一个单位长度。图2受力假设[5]Fig2Assumingtheforce设作用于左面的正应力x，则作用于右面的正应力，由于x坐标的改变，将是22212xxxdxdxxx，略去二阶和二阶以上的微量后便是xxdxx（若x为常量，则xx=0，而左右两面的正应力都应该是x，这就是均布应力情况）。同样，设设作用于左面的切应力xy，则作用于右面的切应力，将是xyxyxdx；设上面的正应力和切应力分别是y和yx，则下面的正应力和切应力分别是yydyy和yxyxydy；因为六面体是微小的，所以它在各面上所受的应力可以认为是均匀分布，作用在对应面的小心。同理，六面体所受的体力，也可以认为是均匀分布，作用在它的体积的中心。首先以通过中C并平行于z轴的直线为矩轴，立出力矩的平衡方程0cM；将上式两边除以dxdy，合并相同项，得到轴为投影轴，列出投影的平衡方程0xF：()11()1110xxxyxyxyxxdxdydyxdydxdxfdxdyy约简以后，两边除以dxdy，得0yxxxfxy同理，由平衡方程0yF，可得一个相似的微分方程。于是得出平面问题中应力分量和体力分量之间的关系，即平面问题中的平衡微分方程。()1122()11022xyxyxyyxyxyxdxdxdxdydyxdydydydxdxy（5）（7）数学理论在土木工程中的应用40yxxxfxy0yxyyfyx平衡微分方程表示了区域内任一点的微分体的平衡条件，从而必须保证任一有限大部分和整个区域是满足平衡条件的。利用弹性力学，土木工程师可以对地震及其对建筑物的作用进行量化；研究断层动力学，进行地震预测。4小结数学在人类文明的发展中起着非常重要的作用，数学推动了重大的科学技术进步，为人类生产和生活带来的巨大的效益，是一种应用最广泛、最直接、最及时、最富创造力和重要的实用技术。在学习土木工程专业时，数学理论和应用一直伴随着我们的学习和工作，可以说数学的理论的发展是土木工程发展的前提和基础。在学习中，我们应用的很多公式，都是建立在数学理论的基础上推导而得。如土力学力学习中我们会应用到高数和线性代数知识，在挑选试验数据的时候，我们会应用的概率论和数理统计知识。总之，通过学习数学而培养的理性思维，是我们能够做施工和研究的强大后盾。参考文献[1]白玉山.计算方法[M].沈阳:辽宁人民出版社，1984.[2]熊洪允.应用数学[M].天津大学出版社[3]康辉平.土的电阻率与土工参数相关性实验研究.福建省水利水电科学研究院[4]杨伯缘.工程弹塑性力学[[M].机械工业出版社，2003[5]徐芝纶.弹性力学简明教程[M].高等教育出版社，2002[6]王福楹.高等数学[M].同济大学出版社.2002（8）