变化率与导数导数的计算(含解析)

1/11第十一节变化率与导数、导数的计算[知识能否忆起]一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.文档来自于网络搜索(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．文档来自于网络搜索2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．文档来自于网络搜索二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2/112．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3.fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．文档来自于网络搜索(理)4.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．文档来自于网络搜索[小题能否全取]1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．文档来自于网络搜索2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．文档来自于网络搜索(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．文档来自于网络搜索利用导数的定义求函数的导数典题导入[例1]用定义法求下列函数的导数．(1)y＝x2；(2)y＝4x2.[自主解答](1)因为ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx文档来自于网络搜索＝x＋Δx2－x2Δx＝x2＋2x·Δx＋Δx2－x2Δx＝2x＋Δx，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.文档来自于网络搜索(2)因为Δy＝4x＋Δx2－4x2＝－4Δx2x＋Δxx2x＋Δx2，文档来自于网络搜索3/11ΔyΔx＝－4·2x＋Δxx2x＋Δx2，所以limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－4·2x＋Δxx2x＋Δx2＝－8x3.文档来自于网络搜索由题悟法根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；文档来自于网络搜索(3)计算导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.文档来自于网络搜索以题试法1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．解：(1)∵s＝8－3t2，∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，v＝ΔsΔt＝－6－3Δt.(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－6－3Δt)＝－6.文档来自于网络搜索法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.当t＝1时，v＝－6×1＝－6.2．已知物体的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()文档来自于网络搜索A.194B.174C.154D.134解析：选D∵s′＝2t－3t2，∴s′|t＝2＝4－34＝134.文档来自于网络搜索3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－12gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，它4/11的加速度是()文档来自于网络搜索A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2解析：选A由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．文档来自于网络搜索导数的运算典题导入[例2]求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝ex＋1ex－1；[自主解答](1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.文档来自于网络搜索(2)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12文档来自于网络搜索＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.文档来自于网络搜索则y′＝(lnu)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法1．求下列函数的导数．(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；文档来自于网络搜索解：(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝exlnx＋1x.文档来自于网络搜索(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.2．求下列函数的导数．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；5/11解：(1)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·sinxcosx′＝tanx＋x·cos2x＋sin2xcos2x文档来自于网络搜索＝tanx＋xcos2x.(2)y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.文档来自于网络搜索3．(教材习题改编)若f(x)＝xex，则f′(1)＝()A．0B．eC．2eD．e2解析：选C∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.4．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析：选Cf′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．5．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：－xsinx6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()文档来自于网络搜索A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数解析：选C由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝lnx－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.文档来自于网络搜索解析：∵f′(x)＝1x－2f′(－1)x＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：86/118．(2012·商丘二模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝()文档来自于网络搜索A．0B．26C．29D．212解析：选D∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′＝(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′，∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.文档来自于网络搜索9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1π2＋f2π2＋…＋f2012π2＝________.文档来自于网络搜索解析：f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1π2＋f2π2＋…＋f2012π2＝503f1π2＋f2π2＋f3π2＋f4π2＝0.文档来自于网络搜索答案：0导数的几何意义典题导入[例3](1)(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()文档来自于网络搜索A．－9B．－3C．9D．15(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()文档来自于网络搜索A．－14B．2C．4D．－12[自主解答](1)y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－127/11＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.文档来自于网络搜索(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.[答案](1)C(2)C若例3(1)变为：曲线y＝x3＋11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0，y0)，由y＝x3＋11，得y′＝3x2，∴k＝y′|x＝x0＝3x20.又∵k＝y0－13x0－0，∴x30＋11－13x0＝3x20.文档来自于网络搜索∴x30＝－1，即x0＝－1.∴k＝3，y0＝10.∴所求切线方程为y－10＝3(x＋1)，即3x－y＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知切线过某点M(x1，f(x1))(不是切点)求切点，设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0＝f′(x0)求解．文档来自于网络搜索以题试法1．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．文档来自于网络搜索(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切，则b的值为()文档来自于网络搜索A．－2B．－1C．－12D．1解