全主元高斯消去法求矩阵的

第3章线性代数方程组的数值解法3.1高斯消去法3.2矩阵三角分解法3.3平方根法3.4向量和矩阵的范数3.5迭代法3.6迭代法的收敛性3.7方程组的形态和误差分析矩阵形式Ax=b,其中n个未知量n个方程的线性代数方程组11,2,,nijjijaxbin或写成若矩阵A非奇异，方程组有惟一解，可用克莱姆（Cramer）法则求解kkDxD，（1,2,,kn）其中detDA，kD是用向量b代替A的第k列后所得矩阵的行列式。克莱姆法则解线性方程组的计算量（乘法次数）(1)!(1)(1)!(1)nSnnnnn例如20n，乘法次数为2110。计算量很大！两类数值解法：直接解法:假定计算过程没有舍入误差的情况下，经过有限步算术运算后能求得线性方程组精确解的方法。经过有限步运算就能求得精确解的方法，但实际计算中由于舍入误差的影响，这类方法也只能求得近似解；例如：高斯消去法、三角分解法等。迭代解法:构造适当的向量序列，用某种极限过程去逐步逼近精确解。例如：雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。上三角形方程组回代求解，得nnnnnnnnyxuyxuxuyxuxuxu222221121211145610233　　　　　7　7　1232334561023377xxxxxx33232132112532yxyxxyxxx2/32/12/1321xxx下三角形方程组顺代可求得772324　　　　　5610　323721321211yyyyyy1891321yyy上二对角方程组回代求解，得4504233　　　　　7　7　下二对角方程组顺代可求得77604　　4　　0　23　3　3.1高斯消去法3.1.1顺序高斯消去法(按方程和未知量的自然顺序进行)基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为上三角形方程组进行求解。求解分成两步：1.消元过程：用初等行变换将原方程组的系数矩阵化为上三角形矩阵（简称上三角阵）。2.回代过程：对上三角形方程组的最后一个方程求解，将求得的解逐步往上一个方程代入求解。顺序高斯消去法消元过程:依从左到右、自上而下的次序将主对角元下方的元素化为零。1不作行交换。2用不等于零的数乘某行，加至另一行。用高斯消去法解下列线性方程组52262342321321321xxxxxxxxx解对线性方程组第1次消元，0211a，确定乘数5.021112121aam，5.021113131aam，则有)1()3()1()2(3121mm35.15.1045.15.2042321321321xxxxxxxxx，第2次消元，05.222a，确定乘数6.05.25.1223232aam，有)2()3(32m6.06.00045.15.2042332321xxxxxx回代3211,1,1xxx系数行列式的计算：例消元过程主元为2，2.5，0.6detA=2×2.5×0.6=3引进记号(1)(1)(1)11121(2)(2)222()()()()()nnkkkkkknkkknnnaaaaaAaaaa，(1)1(2)2()()()kkkknbbbbb，(1,2,,)kn矩阵形式()()kkAxb，(1,2,,)kn消元过程设主元(1)(2)()11220,0,,0nnnaaa消元过程()()(1)()()(`)()()(1,2,,1)(,1,2,,)kikikkkkkkkijijikkjkkkiiikkamknaaamaijkknbbmb回代过程上三角形方程组()()nnAxb求解过程()()()()1()nnnnnnniiiijjjiiiiibxabaxxa，（1,2,,1inn）顺序高斯消去法的使用条件使用条件之一定理线性方程组系数矩阵A的顺序主子矩阵Ak(k=1,2,…,n)非奇异，则顺序高斯消去法能实现方程组的求解。即方程组能用顺序高斯消去法求解的充要条件是系数行列式的顺序主子式非零。高斯消去法能按顺序进行到底的充要条件是在原方程组的系数矩阵中如何反映出这个条件呢?A的k阶顺序主子矩阵Ak的行列式使用条件之二n阶矩阵A为严格对角占优矩阵是指其每个主对角元的绝对值大于同一行其他元素绝对值之和，即一阶严格对角占优矩阵指一个非零数。定理方程组系数矩阵A为严格对角占优矩阵则可实现用顺序高斯消去法求解。顺序高斯消去法的计算量消元中各步需乘除法次数第i步乘法次数除法次数12(1)n1n22(2)n2n1n11合计(1)(21)6nnn(1)2nn3.1.2列主元高斯消去法为什么列选主：数值不稳定当高斯消去法的主元时,尽管“当A非奇异时，detA≠0，方程组有唯一解”，也不能实现高斯消去法求解。例，A非奇异，detA≠0，方程组有唯一解，但，不能实现高斯消去法求解。()0kkka0111A(1)110a高斯消去法的主元，但绝对值很小时，用绝对值小的数做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩大。()0kkka经过1k次消元后得到增广矩阵()()(|)kkAb，在此增广矩阵的第k列的元素()()()1,,,kkkkkkknkaaa中选取绝对值最大的一个，记为()krka，然后交换()()(|)kkAb中的第k行与第r行后，再进行第k次消元。列选主元高斯消去法：避免用绝对值小的元素，作除数。每次消元前选取一列中绝对值最大的元素作为主元素。用这个主元素作除数，这样便可以减少舍入误差。列选主元高斯消去法的优越性，不增加求解过程的运算量，而大大减小误差。例用列主元高斯消去法求解方程组(用三位有效数字计算)解选主元选主元5732354-14　　　　　42　2　354-1[,]57324Ab　　　　　42　2　573200.82.2-2.20.6.40.4　　　　-1-0　消元过程完成，得到上三角形方程组再作回代可求得行列式的计算：列主元法的消元过程计算过程有2次行交换，故m=2，主元为5，-1.6，2detA=(-1)2×5×(-1.6)×2=16m为消元过程中交换行的次数。定理系数矩阵为对称严格对角占优，则全是主元。