高中数学-平面向量总复习题

一、选择题1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：B2.当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等解析：∵（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）．答案：B3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；③两向量不能比较大小，故命题③错误；④0与任意向量平行，故命题④错误；⑤命题⑤正确.答案：B4.下列四式中不能．．化简为PQ的是（）A.)(BQPAABB.)()(QCBAPCABC.CQQPQCD.BQABPA解析：A选项中，PQAQPAPAAQAQBQAB,B选项中，ABABBAAB＝0，PQCQPCQCPC，PQ＋0＝PQC选项中，QCQCCQQC＝0，－QP＋0＝PQ＋0＝PQ．D选项中，PQBQPBPBABPA,，（∵PQBQPB）答案：D5.已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则a＋b＋c的模等于（）A.0B.2＋2C.2D.22解析：∵ACBCAB，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴|2c|＝22.答案：D6.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确．．．的是A.FADAFDB.EFDEFD＝0C.ECDADED.FDDEDA答案：D7.已知a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|成立的充要条件是A.a∥bB.a，b有共同的起点C.a与b的长度相等D.a⊥b解析：|a＋b|＝|a－b||a＋b|2＝|a－b|2（a＋b）2＝（a－b）2a2＋2a·b＋b2a2－2a·b＋b2a·b＝0a⊥b答案：D8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是①|a|2＝a2；②ababa2；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a2－2a·b＋b2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0A.①②③B.①④C.②④D.②⑤解析：②abababaaba||cos||||cos||||22③（a·b）2＝（|a||b|cosα）2＝|a|2|b|2cos2α，a2·b2＝|a|2·|b|2,∴(a·b)2≠a2·b2⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，b≠0.答案：B9.若点P分有向线段21PP成定比为3∶1，则点P1分有向线段PP2所成的比为A.－34B.－32C.－21D.－23解析：∵34112PPPP，则点P1分有向线段PP2所成的比为－34.答案：A10.已知点A（x，5）关于点C（1，y）的对称点是B（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是A.4B.13C.15D.17解析：由中点坐标公式可得yx235,122，解得x＝4，y＝1，再由两点间距离公式得17142222yx.答案：D11.将点（a，b）按向量a＝（h，k）平移后，得到点的坐标为A.（a－h，b＋k）B.（a－h，b－k）C.（a＋h，b－k）D.（a＋h，b＋k）解析：设平移后点的坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得kbyhax，∴kbyhax答案：D12.点A（2，0），B（4，2），若|AB|＝2|AC|，则点C坐标为A.（－1，1）B.（－1，1）或（5，－1）C.（－1，1）或（1，3）D.无数多个解析：由题意|AB|＝222)24(22，∴|AC|＝22||AB.故点C分布在以点A为圆心，半径为2的圆上，故点C坐标有无数多个.答案：D13.将曲线f（x，y）＝0按向量a＝（h，k）平移后，得到的曲线的方程为A.f（x－h，y＋k）＝0B.f（x－h，y－k）＝0C.f（x＋h，y－k）＝0D.f（x＋h，y＋k）＝0解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得kyyhxx，∴kyyhxx又f（x，y）＝0，∴f（x′－h，y′－k）＝0即f（x－h，y－k）为平移后曲线方程.答案：B14.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（－1，2），则|PQ|等于（）A.42B.25C.5D.210解析：由题意设P（x，0），Q（0，y），由中点坐标公式可得2x＝－1，2y＝2解得x＝－2，y＝4，∴|PQ|＝52204)2(22.答案：B15.下列命题中，正确的是A.|a·b|＝|a|·|b|B.若a⊥（b－c），则a·b＝a·cC.a2＞|a|D.a（b·c）＝（a·b）c解析：A．a·b＝|a||b|cosα，|a·b|＝|a||b||cosα|≠|a||b|B.若a＝0，则a·b＝a·c，若b－c＝0，即b＝c，a·b＝a·c；若a≠0，且b－c≠0，由a⊥（b－c），得a·（b－c）＝0.∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正确.C.若|a|＝0或1，则a2＝|a|.D.向量的数量积不满足结合律.答案：B16.函数y＝4sin2x的图象可以由y＝4sin（2x－3）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是A.向左平移6个单位B.向右平移6个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析：∵用x－6替换掉函数y＝4sin2x中的x可得y＝4sin2（x－6）＝4sin（2x－3），故可将原函数图象向左平移6个单位得到.答案：A17.已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是A.30°B.60°C.120°D.150°解析：∵m·n＝|m||n|cos60°＝21，∴|a|＝7)(22nm，|b|＝7)23(2nm∴a·b＝（2m＋n）（－3m＋2n）＝－6m2＋2n2＋m·n＝－6＋2＋21＝－27∴cosα＝21||||baba，∴α＝120°答案：C18.将函数y＝22x的图象按a平移后，函数解析式为y＝1212x－1，则a等于（）A.（－2，1）B.（2，－1）C.（1，－1）D.（－1，1）解析：y＝1212x－1，即y＋1＝)2(212x∴用x－2，y＋1分别替换了原函数解析式中的x，y即yyxx12，∴12yyxx即12kh∴a＝（2，－1）答案：B19.在直角三角形中，A、B为锐角，则sinA·sinBA.有最大值21和最小值0B.有最大值21，但无最小值C.既无最大值，也无最小值D.有最大值1，但无最小值解析：∵△ABC为直角三角形，∴B＝2－A∴sinA·sinB＝sinA·sin（2－A）＝sinA·cosA＝21sin2A当A＝B＝4时，有最大值21，但无最小值.答案：B20.α、β是锐角三角形的三个内角，则A.cosα＞sinβ且cosβ＞sinαB.cosα＜sinβ且cosβ＜sinαC.cosα＞sinβ且cosβ＜sinαD.cosα＜sinβ且cosβ＞sinα解析：∵α、β是锐角三角形两内角，∴α＋β＞2，∴2＞α＞2－β＞0，∴sinα＞sin（2－β）即sinα＞cosβ，同理sinβ＞cosα答案：B21.在△ABC中，sinA＜sinB是A＜B的A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由正弦定理可得BbAasinsin，∴BAbasinsin由sinA＜sinB可得a＜b根据三角形小边对小角可得A＜B，反之由A＜B也可推得sinA＜sinB故sinA＜sinB是A＜B的充要条件.答案：C22.在△ABC中，tanA·tanB＞1，则△ABC为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析：∵tanA·tanB＞1＞0，又∵A、B不可能同时为钝角，∴tanA＞0，tanB＞0，∴tan（A＋B）＝BABAtantan1tantan＜0，∴90°＜A＋B＜180°，∴0°＜C＜90°，∴△ABC为锐角三角形.答案：A23.在△ABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c，则acosB＋bcosA等于A.2cosCB.2sinCC.2baD.c解析：由正弦定理得：BbAasinsin＝2R得a＝2RsinA，b＝2RsinB∴acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RcosAsinB＝2Rsin（A＋B）＝2RsinC＝c答案：D24.在△ABC中，已知cosA＝135，sinB＝53，则cosC等于A.6516B.6556C.6516或6556D.－6516解析：由sinB＝53，得cosB＝±B2sin1＝±54但当cosB＝－54，cosA＋cosB＜0，C无解∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－（cosAcosB－sinAsinB）＝sinAsinB－cosBcosA＝1312·5453·6516135答案：A25.在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2＜b2＋c2，则A的取值范围是（）A.90°＜A＜180°B.45°＜A＜90°C.60°＜A＜90°D.0°＜A＜90°解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，∴cosA＝bcacb2222＞0，∴A＜90°，又∵a边最大，∴A角最大∵A＋B＋C＝180°，∴3A＞180°，∴A＞60°，∴60°＜A＜90°答案：C26.已知点A分BC的比为2，下列结论错误的是A.B分AC的比为－32B.C分BA的比为－3C.A分CB的比为2D.C分AB的比为－31解析：数形结合可得C选项错误.答案：C27.在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积为A.23B.3C.23或3D.23或43解析：sinC＝23230sin32，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°∴S△ABC＝21AB·AC·sinA＝23或3.答案：C28.在△ABC中，若sinB·sinC＝cos22A，则△ABC是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析：∵sinB·sinC＝2cos1A又cosA＝cos［180°－（B＋C）］＝－cos（B＋C）＝－（cosBcosC－sinBsinC）∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1∴cos（B－C）＝1，∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形.答案：A二、解答题1.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值.分析：由于A、B、D三点共线，因此存在实数λ，使AB＝λBD，而BD＝CD－CB＝e1－4e2，将AB、BD的e1、e2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于λ、k的方程组，便可求得k的值.解：BD＝CD－CB＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2，∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD，∴2e1＋ke2＝λ（e1－4e2）于是可得42k，解得k＝－8.评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系.2.已知a、b是两个非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证b⊥（a＋tb）.分析：利用|a＋tb|2＝（a＋tb）2进行转换，可讨论有关|a＋tb|的最小值问题，若能算得b·（a＋tb）＝0，则证明了b⊥（