高中数学-平面向量总复习题

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资源描述

一、选择题1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案:B2.当|a|=|b|≠0且a、b不共线时,a+b与a-b的关系是A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等解析:∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,∴(a+b)⊥(a-b).答案:B3.下面有五个命题,其中正确的命题序号为①单位向量都相等;②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量;③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b;④由于零向量方向不确定,故0不能与任何向量平行;⑤对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤解析:①单位向量方向不确定,故不一定相等,所以命题①错误;②方向相反的向量一定是共线向量,故命题②错误;③两向量不能比较大小,故命题③错误;④0与任意向量平行,故命题④错误;⑤命题⑤正确.答案:B4.下列四式中不能..化简为PQ的是()A.)(BQPAABB.)()(QCBAPCABC.CQQPQCD.BQABPA解析:A选项中,PQAQPAPAAQAQBQAB,B选项中,ABABBAAB=0,PQCQPCQCPC,PQ+0=PQC选项中,QCQCCQQC=0,-QP+0=PQ+0=PQ.D选项中,PQBQPBPBABPA,,(∵PQBQPB)答案:D5.已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则a+b+c的模等于()A.0B.2+2C.2D.22解析:∵ACBCAB,∴a+b=c,∴a+b+c=2c,∴|2c|=22.答案:D6.如图所示,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则下列等式中不正确...的是A.FADAFDB.EFDEFD=0C.ECDADED.FDDEDA答案:D7.已知a,b为非零向量,|a+b|=|a-b|成立的充要条件是A.a∥bB.a,b有共同的起点C.a与b的长度相等D.a⊥b解析:|a+b|=|a-b||a+b|2=|a-b|2(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2a2-2a·b+b2a·b=0a⊥b答案:D8.下面有五个命题,其中正确命题的序号是①|a|2=a2;②ababa2;③(a·b)2=a2·b2;④(a-b)2=a2-2a·b+b2;⑤若a·b=0,则a=0或b=0A.①②③B.①④C.②④D.②⑤解析:②abababaaba||cos||||cos||||22③(a·b)2=(|a||b|cosα)2=|a|2|b|2cos2α,a2·b2=|a|2·|b|2,∴(a·b)2≠a2·b2⑤若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b且a≠0,b≠0.答案:B9.若点P分有向线段21PP成定比为3∶1,则点P1分有向线段PP2所成的比为A.-34B.-32C.-21D.-23解析:∵34112PPPP,则点P1分有向线段PP2所成的比为-34.答案:A10.已知点A(x,5)关于点C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是A.4B.13C.15D.17解析:由中点坐标公式可得yx235,122,解得x=4,y=1,再由两点间距离公式得17142222yx.答案:D11.将点(a,b)按向量a=(h,k)平移后,得到点的坐标为A.(a-h,b+k)B.(a-h,b-k)C.(a+h,b-k)D.(a+h,b+k)解析:设平移后点的坐标为(x′,y′),则根据平移公式可得kbyhax,∴kbyhax答案:D12.点A(2,0),B(4,2),若|AB|=2|AC|,则点C坐标为A.(-1,1)B.(-1,1)或(5,-1)C.(-1,1)或(1,3)D.无数多个解析:由题意|AB|=222)24(22,∴|AC|=22||AB.故点C分布在以点A为圆心,半径为2的圆上,故点C坐标有无数多个.答案:D13.将曲线f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后,得到的曲线的方程为A.f(x-h,y+k)=0B.f(x-h,y-k)=0C.f(x+h,y-k)=0D.f(x+h,y+k)=0解析:设平移后曲线上任意一点坐标为(x′,y′),则根据平移公式可得kyyhxx,∴kyyhxx又f(x,y)=0,∴f(x′-h,y′-k)=0即f(x-h,y-k)为平移后曲线方程.答案:B14.设P点在x轴上,Q点在y轴上,PQ的中点是M(-1,2),则|PQ|等于()A.42B.25C.5D.210解析:由题意设P(x,0),Q(0,y),由中点坐标公式可得2x=-1,2y=2解得x=-2,y=4,∴|PQ|=52204)2(22.答案:B15.下列命题中,正确的是A.|a·b|=|a|·|b|B.若a⊥(b-c),则a·b=a·cC.a2>|a|D.a(b·c)=(a·b)c解析:A.a·b=|a||b|cosα,|a·b|=|a||b||cosα|≠|a||b|B.若a=0,则a·b=a·c,若b-c=0,即b=c,a·b=a·c;若a≠0,且b-c≠0,由a⊥(b-c),得a·(b-c)=0.∴a·b-a·c=0,∴a·b=a·c,故B正确.C.若|a|=0或1,则a2=|a|.D.向量的数量积不满足结合律.答案:B16.函数y=4sin2x的图象可以由y=4sin(2x-3)的图象经过平移变换而得到,则这个平移变换是A.向左平移6个单位B.向右平移6个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析:∵用x-6替换掉函数y=4sin2x中的x可得y=4sin2(x-6)=4sin(2x-3),故可将原函数图象向左平移6个单位得到.答案:A17.已知m,n是夹角为60°的两个单位向量,则a=2m+n和b=-3m+2n的夹角是A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵m·n=|m||n|cos60°=21,∴|a|=7)(22nm,|b|=7)23(2nm∴a·b=(2m+n)(-3m+2n)=-6m2+2n2+m·n=-6+2+21=-27∴cosα=21||||baba,∴α=120°答案:C18.将函数y=22x的图象按a平移后,函数解析式为y=1212x-1,则a等于()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(1,-1)D.(-1,1)解析:y=1212x-1,即y+1=)2(212x∴用x-2,y+1分别替换了原函数解析式中的x,y即yyxx12,∴12yyxx即12kh∴a=(2,-1)答案:B19.在直角三角形中,A、B为锐角,则sinA·sinBA.有最大值21和最小值0B.有最大值21,但无最小值C.既无最大值,也无最小值D.有最大值1,但无最小值解析:∵△ABC为直角三角形,∴B=2-A∴sinA·sinB=sinA·sin(2-A)=sinA·cosA=21sin2A当A=B=4时,有最大值21,但无最小值.答案:B20.α、β是锐角三角形的三个内角,则A.cosα>sinβ且cosβ>sinαB.cosα<sinβ且cosβ<sinαC.cosα>sinβ且cosβ<sinαD.cosα<sinβ且cosβ>sinα解析:∵α、β是锐角三角形两内角,∴α+β>2,∴2>α>2-β>0,∴sinα>sin(2-β)即sinα>cosβ,同理sinβ>cosα答案:B21.在△ABC中,sinA<sinB是A<B的A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由正弦定理可得BbAasinsin,∴BAbasinsin由sinA<sinB可得a<b根据三角形小边对小角可得A<B,反之由A<B也可推得sinA<sinB故sinA<sinB是A<B的充要条件.答案:C22.在△ABC中,tanA·tanB>1,则△ABC为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:∵tanA·tanB>1>0,又∵A、B不可能同时为钝角,∴tanA>0,tanB>0,∴tan(A+B)=BABAtantan1tantan<0,∴90°<A+B<180°,∴0°<C<90°,∴△ABC为锐角三角形.答案:A23.在△ABC中,A、B、C相应对边分别为a、b、c,则acosB+bcosA等于A.2cosCB.2sinCC.2baD.c解析:由正弦定理得:BbAasinsin=2R得a=2RsinA,b=2RsinB∴acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RcosAsinB=2Rsin(A+B)=2RsinC=c答案:D24.在△ABC中,已知cosA=135,sinB=53,则cosC等于A.6516B.6556C.6516或6556D.-6516解析:由sinB=53,得cosB=±B2sin1=±54但当cosB=-54,cosA+cosB<0,C无解∴cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cosBcosA=1312·5453·6516135答案:A25.在不等边△ABC中,a为最大边,如果a2<b2+c2,则A的取值范围是()A.90°<A<180°B.45°<A<90°C.60°<A<90°D.0°<A<90°解析:∵a2<b2+c2,∴b2+c2-a2>0,∴cosA=bcacb2222>0,∴A<90°,又∵a边最大,∴A角最大∵A+B+C=180°,∴3A>180°,∴A>60°,∴60°<A<90°答案:C26.已知点A分BC的比为2,下列结论错误的是A.B分AC的比为-32B.C分BA的比为-3C.A分CB的比为2D.C分AB的比为-31解析:数形结合可得C选项错误.答案:C27.在△ABC中,若B=30°,AB=23,AC=2,则△ABC的面积为A.23B.3C.23或3D.23或43解析:sinC=23230sin32,∴C=60°或120°,∴A=90°或30°∴S△ABC=21AB·AC·sinA=23或3.答案:C28.在△ABC中,若sinB·sinC=cos22A,则△ABC是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵sinB·sinC=2cos1A又cosA=cos[180°-(B+C)]=-cos(B+C)=-(cosBcosC-sinBsinC)∴2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC,∴cosBcosC+sinBsinC=1∴cos(B-C)=1,∴B=C,∴△ABC是等腰三角形.答案:A二、解答题1.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A、B、D三点共线,求k的值.分析:由于A、B、D三点共线,因此存在实数λ,使AB=λBD,而BD=CD-CB=e1-4e2,将AB、BD的e1、e2表达式代入上式,再由向量相等的条件得到关于λ、k的方程组,便可求得k的值.解:BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵A、B、D三点共线,∴存在实数λ,使AB=λBD,∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)于是可得42k,解得k=-8.评述:此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件,要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系.2.已知a、b是两个非零向量,当a+tb(t∈R)的模取最小值时,(1)求t的值;(2)求证b⊥(a+tb).分析:利用|a+tb|2=(a+tb)2进行转换,可讨论有关|a+tb|的最小值问题,若能算得b·(a+tb)=0,则证明了b⊥(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