时程分析法

第4讲时程分析法§4-1弹性时程分析法§4-2弹塑性时程分析法结构动力响应分析动力响应分析就是求系统运动方程)()()()(tFtKtCtM(25)满足初始条件)0(，)0(的解，即求结构在动荷载)(tF作用下位移)(t及速度)(t和加速度)(t。求解结构的动力响应有两种基本方法：振型叠加法和直接积分法。前者用于解线性结构的动力响应；后者既可用于解线性结构也可在增量法中用于解非线性结构的动力响应。结构动力响应分析-振型叠加法1.基本思想振型叠加法又称振型分解法。其基本思想是通过坐标变换，将一个多自由度体系的n个耦合运动方程，分解为n个非耦合运动方程，问题的解为n个非耦合运动方程解的线性组合。n个自由度的结构一般有n个固有振型，可构成n个独立的位移模式。结构任意位移状态可表示为这n个独立位移模式的线性组合：1122()()()()nntytytytY(26)式中：12n(27)为振型矩阵。12[]TnYyyy为振型坐标或广义坐标向量，它是时间的函数。结构动力响应分析-振型叠加法将式(26)代入式(25)，并注意到i不随时间变化，得：()MYCYKYFt(28)用(1,2,)iin左乘式(28)两边各项，并考虑正交条件0()0()TijTijKijMij若采用瑞利阻尼CMK，则同时有0()TijCij结构动力响应分析-振型叠加法于是可得n个解耦的二阶线性方程：()iiiiiiiMyCyKyFt(29)或写成2()2iiiiiiiiFtyyyM(30)式中22()()TiiiTiiiiiTiiiiiiTiiMMKKMCCMFtFt式中i为第i振型阻尼比，,,,iiiiMKCF相应称为广义质量、广义刚度、广义阻尼和广义荷载。结构动力响应分析-振型叠加法初始条件(0)和(0)也可通过变换(0)(0),(0)(0)YY每式两边同乘iM，考虑与M的正交性质，得：(0)(1,2,)(0)(0)(1,2,)TiiiTiiiMyinMMyinM(31)这样，就得一组n个自由度的联立方程(25)，分解为n个独立的单自由度运动方程(31)。解出每个振型坐标iy的响应，然后按(26)式叠加，即可得到用原坐标()t表示的响应。结构动力响应分析-振型叠加法2．计算步骤(1)建立结构运动方程式(25)。(2)求结构自振频率i和振型(1,2,,)iimmn。(3)计算广义质量iM和广义荷载(1,2,,)iFimmn。结构动力响应分析-振型叠加法(4)计算每个独立方程式(30)的动力响应。可用杜哈梅积分求解()'0'01()()sin()iittiiiiiiytyFetdM式中'21iii为考虑阻尼时自振频率。0iy为初始条件引起的自由振动响应。若初速度和初位移均不为零，则()''0'(0)(0)()(0)cossiniitiiiiiiiiiyyyteytt(5)计算结构动力响应；()tY结构动力响应分析-振型叠加法应该指出．结构对于大多数类型荷载的响应，一般低阶振型起的作用大，高阶振型的作用趋小；且有限元法对于低阶特征解近似性好，高阶则较差，因而．在满足一定精度的条件下，可舍去一些高振型的影响。例如工程结构的地震响应仅要求考虑前十阶或十几阶低阶振型即可。结构动力响应分析-直接积分法直接积分法与振型迭加法不同，无需先进行振型分析，也不对运动方程进行基底变换，而是直接对运动方程进行逐步数值积分。直接积分法的基本思想是：(1)对时间离散时，不要求任何时刻都满足运动方程，而仅要求在离散点上满足运动方程。(2)在时间间隔t内位移、速度和加速度的变化规律及其间关系是假设的，采用不同的假设得到不同的直接积分法。结构动力响应分析-直接积分法直接积分法的计算过程是：假设：0t时刻的状态向量：000ttt、、是已知的；如将时间求解域0tT进行离散，即可由已知的0t时刻的状态向量计算0tt时刻的状态向量，进而计算ttt时刻的状态向量，直至tT时刻终止，这样便可得到动力响应全过程。直接积分的方法很多，各种方法在数学上的收敛性和稳定性不同．计算精度也不同。本章仅介绍工程中常用的线性加速度法、Wilson-θ法，Newmark法。结构动力响应分析-直接积分法(一)线性加速度法该法假定在时间间隔t内，加速度呈线性变化(如图5示)。图5线性加速度示意结构动力响应分析-直接积分法()(0)ttttttt(a)(a)式两边对积分00()ttttdddt得2()2ttttttt(b)(b)式两边对再积分，得2()2ttttttt(c)结构动力响应分析-直接积分法当t时，有22tttttttt(d)2236tttttttttt(e)由(d)(e)二式可求得tttttt、、与t时刻状态向量的关系：266()2ttttttttt(32)3()22ttttttttt(33)结构动力响应分析-直接积分法tt可由tt时刻的运动方程求得，该方程为：ttttttttMCKF(34)将(32)、(33)式代入(34)式，得ttttttKF(35)式中2263()663(2)(2)()2ttttttttttttKKMCtttFFMCttt(36)结构动力响应分析-直接积分法这样，由已知的t时刻状态向量t、t、t和tt时刻的荷载ttF，便可由(37)、(32)、(33)式求得tt时刻的状态向量tt、tt、tt。重复上述过程，即可求得动力响应全过程。若每个步长t相等，则ttK为常量，只要分解一次，以后每次计算只是简单的回代。该法假定步长t内加速度线性变化，故tt为常量，更高阶微分为零，因此其截断误差为四阶。结构动力响应分析-直接积分法若离散后结构的最小周期为1T，则当步长111(~)56tT时，该法才是稳定的。最小周期的量级是相当小的。例如，平面三结点三角形单元网格，如忽略阻尼，时间步长的上界可由下式估算2(1)()txyE(37)式中，E为弹性模量，为泊松比，为材料密度，x、y为最小网格间距。对于混凝土结构，若取1xym，由上式得到的步长上界为0.0003秒。可见，为了保证计算结果的稳定性，需要减小步长，耗费机时，否则计算结果将失去意义。因而该法需要改进，下面的Wilson-法较好地解决了这一问题。结构动力响应分析-直接积分法（二）Wilson-法Wilson-法假定在某一时间间隔t以外，加速度仍可线性外推（图6），然后采用某一大于t的时间间隔(1)t计算出响应值后，再线性内插得到t时间内的实际响应值。当1时，该法即退化为线性加速度法。结构动力响应分析-直接积分法图6Wilson-θ法示意结构动力响应分析-直接积分法由图2可见，时刻的加速度为：()(0)ttttttt(a)(a)式两边对积分两次并移项得：223()21()26ttttttttttttttt(b)结构动力响应分析-直接积分法在(b)两式中令t，得2222()236ttttttttttttttttt(c)由(c)两式可求得tt、tt与tt和t时刻状态向量的关系：2266()23()22tttttttttttttttttt(38)结构动力响应分析-直接积分法tt可由tt时刻的运动方程求得。考虑到t内加速度线性变化，故荷载向量在t内也为线性变化（图7）：()ttttttFFFF(38)t时刻的运动方程为：ttttttttMCKF(40)结构动力响应分析-直接积分法图7内载荷变化t结构动力响应分析-直接积分法将(38)式代入(40)式，即可求得tt，然后，在(a)、(b)式中令t，并考虑式(38)的第一式，可求得tt时刻的状态向量。以tt时刻作为新的起点时刻，重复上述过程，即可求得动力响应全过程。可以证明，当1.37时，该法是无条件稳定的。但随着增大，计算误差也增大，因此通常取1.4。在地震荷载作用下，对于一般阻尼比为5%的钢筋混凝土结构，时间步长(0.06~0.1)tT即可求得较好结果，T为地震波的卓越周期。结构动力响应分析-直接积分法Wilson-法是一种比较有效的方法，现列出其计算步骤如下：1.初始计算（1）形成刚度矩阵K、质量矩阵M和阻尼矩阵C。（2）确定初始值0、0、0。（3）选取时间步长t，计算积分常数（取1.4）：0121202345267863,,2(),,231,,26ttttt结构动力响应分析-直接积分法(4)形成有效刚度矩阵：01KKMC(5)对K进行三角分解TKLDL结构动力响应分析-直接积分法2对每一个时间步长（1）计算tt时刻的有效荷载：0213(2)(2)ttttttttttFFMC（2）求解在时刻tt的位移TttttLDLF（3）计算tt时刻的加速度、速度和位移：45678()()(2)ttttttttttttttttttttt结构动力响应分析-直接积分法（三）Newmark法Newmark法实质上是线性加速度法的推广。其采用如下假设：[(1)]ttttttt(41)21[()]2ttttttttt(42)其中和是按积分精度和稳定性要求而确定的参数。当11,26时，它就是线性加速度法。结构动力响应分析-直接积分法由(18)式可解得2111()(1)2ttttttttt(43)将(19)式代入(17),可得2()(1)(1)2ttttttttt(44)tt可由tt时刻的运动方程求得。该方程为：ttttttttMCKF(45)将(43)、(44)式代入(45)式，就可求得tt。然后由(43)、(44)求得tt和tt。研究表明，当20.5,0.25(0.5)时，Newmark法是无条件稳定的。对于弹性动力分析，一般取0.5,0.25就能取得良好结果。结构动力响应分析-直接积分法Newnark法计算步骤如下：1.初始计算（1）形成刚度矩阵K，质量矩阵M及阻尼矩阵C。（2）计算初始值0、0、0（3）选择时间步长t，参数、，计算积分常数：20122345670.50,0.25(0.5)11,,11,1,(2)22(1),tttttt