数学建模论文(奶牛场问题)

1奶牛场计划摘要本文是对农场生产计划进行最优化建模，首先要求制订未来五年的生产计划,计划应贷款的金额、应卖的小母牛、以及用来种植粮食的土地，使成本降到最低。其中农场的收入包含卖牛的收入，卖牛奶的收入，和卖粮食甜菜的收入（当粮食和甜菜充足的情况下），农场的支出包括劳动力的消费，买牛的费用，承包农场的费用，以及购买粮食甜菜的费用（当粮食和甜菜不足的情况下）。通过迭代计算可以把本模型简化成一个收入和支出的关系表达式，将银行贷款利息结合到收支上，建立一个非线性规划模型，同时考虑到粮食的充和不足情况，运用0-1规划方法解决建模问题。最后我们利用LINGO编程得到最终结果。关键词：收入支出迭代计算0-1规划LINGO2一、问题重述1.1问题背景某公司计划承包有200亩土地的农场，建立奶牛场，雇佣工人进行奶牛养殖经营。由于承租费用较高，公司只能向银行贷款进行生产经营。现在要为未来的五年制定生产计划，并向银行还本付息，使公司盈利最大。1.2相关信息开始承包时农场有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，生出后不久即卖掉，平均每头卖300元；另一半为母牛，可以在出生后不久卖掉，平均每头卖400元，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就卖掉，平均每头卖1200元。现在有20头幼牛，0岁和1岁各10头；100头产奶牛，从2岁至11岁，每一年龄的都有10头。应该卖掉的小母牛都已卖掉。所有20头是要饲养成产奶牛的。一头牛所产的奶提供年收入3700元。现在农场最多只能养130头牛。超过此数每多养一头，要投资2000元。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。每头小牛每年消耗粮食和甜菜量为奶牛的2/3。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每亩产甜菜1.5吨。只有80亩的土地适于种粮食，产量平均0.9吨。从市场购粮食每吨900元，卖出750元。买甜菜每吨700元，卖出500元。养牛和种植所需的劳动量为：每头小牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一亩粮食每年需20小时；种一亩甜菜每年需30小时。其它费用：每头幼牛每年500元，产奶牛每头每年1000元；种粮食每亩每年150元，种甜菜每亩每年100元。劳动力成本为每小时费用为10元。承包农场需要一笔费用，其中一部分是土地承租费用，每年6万元（每年底付清），另一部分用于支付开始承包时农场已有的120头牛的费用。平均产奶牛每头4000元，小牛每头400元，到承包结束时，农场的牛按此价折价抵卖。任何投资都是从5年期的贷款得到。贷款的年利率为12%，每年偿还本息总共的1/5，3五年还清。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末与现在相比减少超过50%，也不希望增加超过75%。1.3待解决的问题（1）试分析承包人有无盈利的可能性。若有，应如何安排5年的生产，使得五年的净收益为最大？（2）更进一步讨论，若遇到银行利率波动（例如上下波动2个百分点），还贷方式改变（如规定每年还息，改变还本的方式），由于气候等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价格的变动等将会对你的五年生产计划及收益产生怎样的影响。4二、题设分析2.1问题分析2.1.1问题一的分析表1开始承包时每个年龄的奶牛以及承包费用表牛种幼牛产奶牛岁数01234567891011牛数101010101010101010101010承包费用400元/头4000元/头表2每年养牛所需费用表牛种幼牛产奶牛费用粮食0.6*2/30.6吨/头甜菜0.7*2/30.7吨/头劳动力100元/头420元/头其他500元/头1000元/头表3粮食甜菜清单种植产量劳动力费用其他费用购入价格卖出价格土地数粮食0.9吨/亩200元/亩150元/亩900元/吨750元/吨0～80亩甜菜1.5吨/亩300元/亩100元/亩700元/吨500元/吨0～200亩本题要求分析农场主5年后能否盈利，并制定5年的生产计划设法使净收益最大，我们认为这是一个研究资源的合理配置和优化问题。农场投资最少收益为最大，要合理生产计划，减少不必要的成本。1.由题意可知，第四年和第五年产出的小牛到第五年末都不可以产奶，所以第四年第五年不饲养刚出生的小奶牛，全部饲养产奶牛盈利最大。2.种粮食和甜菜均有利可图，种粮食平均盈利比种甜菜平均盈利大，故可以先满足粮食产量再考虑甜菜的产量。52.1.2问题二的分析1.使用穷举法求解，先不考虑贷款及还款做出最优解，然后通过每年运营所需费用以及贷款所需费用计算出贷款金额。2.贷款问题任何投资都是从5年期的贷款得到。贷款的年利率为10%，每年偿还本息总共的1/5，五年还清。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末与现在相比减少超过50%，也不希望增加超过75%。3.劳动力市场的价格变化可能对不同的牛（12岁母牛，0岁母牛）的养殖数目，种植饲料的亩数，以及间接地对贷款额造成一定影响。此题我们将结合模型中利率，农产品产量和价格，及劳动力价格这几个变量来进行分析。6三、模型假设3.1问题一中的假设方法一的假设：假设一：年初幼牛出生，年末损失。小牛刚出生就卖掉，即刚出生的小牛无损失，12岁的老母牛在年末被卖掉。假设二：假设年初的奶牛消耗食物，也就是说即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假设三：先收益再还贷款钱，而且固定资产如：地皮钱，第一年买的牛的钱，种地钱，养牛的固定费用等这些消费设在年初，种地和养奶牛劳动力时长消费统一设在年末。假设四：第五年末的老牛将以一定折扣1200元/头卖出。方法二的假设：假设一：年初幼牛出生，年末损失。小牛刚出生就卖掉，即刚出生的小牛无损失，12岁的老母牛在年末被卖掉。假设二：粮食是在每年末才能成熟并收割，第一年的牛的全部饲料都从市场上购买，以后每年的牛吃上一年种的粮食，不够的再到市场上购买。假设三：不考虑价格指数CPI。3.2问题二中的假设1.银行按照复利计息，即农场每年归还1/5(1+r)^5M2.银行贷款利率稳定。3.每年等额还款。7四、符号说明方法一的符号说明(k1,2,3,4,5,6)ika为0-1变量(t1,2,3)itJ为判断系数iL为第i年生育的母牛留下来数量1iS为第i年年初幼牛数量2iS为第i年年初奶牛数量1iE为第i年年末幼牛数量2iE为第i年年末奶牛数量1iF为第i年幼牛消耗粮食量2iF为第i年幼牛消耗甜菜量3iF为第i年奶牛消耗粮食量4iF为第i年奶牛消耗甜菜量5iF为第i年种植粮食吨数6iF为第i年种植甜菜吨数iN为第i年种植粮食亩数（甜菜为200-iN）iC为第i年总消费1iC为第i年的固定投资2iC为第i年养牛固定费用3iC为第i年种地固定消费4iC为第i年种地劳动力时长消费5iC为第i年养奶牛劳动力时长消费6iC为第i年年末还款数额iW为第i年总收益1iW为第i年种地总收益2iW卖幼牛和奶牛收益3iW奶牛产奶收益iCR为第i年净利润0CR为五年内的总利润M贷款总额T五年内应还总钱数（也就是本息）iM第i年年初贷款剩余钱8五、模型的建立及求解5．1问题一的求解5.1.1模型准备（1）运筹学0-1规划只取0或1的变量，称为0-1变量，若纯整数规划决策的变量都是0-1变量，则称为0-1规划。在讨论线性规划时，如果研究对象可以归结为互相对立的两种可能情况，那么引入0-1变量，就能够将它进一步化成0-1规划。数学模型为0-1规划的标准型：1axnjjjMYcx..st11,2,...,nijijijjaxbim0,1.1,2,...,jxjn如果0-1规划模型不是标准型，总可以通过适当变换，使其化为标准型。5.1.2方法一5.1.2.1模型的建立设每年出生留下来的小母牛为iL，每年年初所饲养的小母牛1iS，成熟奶牛2iS，可分别表示为11S=20+1L12S=10021S=2L+0.95(10+1L)22S=100.95+900.98=97.7931S=0.952L+3L32S=0.901L+95.1441S=0.953L42S=210.900.8883.80LL51S=052S=3210.900.880.8764.04LLL用表格可表示为：根据农场主的想法我们知道要保持每年养的数量保持在（60~210）即满足52160210iuiuS接下来我们计算卖掉的幼牛与奶牛的数量1iN我们记为第i年卖的幼公牛数量，2iN我们记为第i年卖的幼母牛数量3iN我们记为第i年末卖的奶牛数量则有如下关系：1iN=2iS1.10.5=0.552iS2iN=1iN-iL2341323334353520,100.98,100.98,100.98,100.980.98NNNNNS于是我们就可以求出第i年卖奶牛收益：2iW=3001iN+4002iN+12003iN（1）我们知道幼牛与奶牛的分布，可以求出每年需要的粮食和甜菜数量年初奶牛分布表（单位：头）年龄01234567891011第一年初10+L110.0010.0010.0010.0010.0010.0010.0010.0010.0010.0010.00第二年初L20.95(10+L1)9.509.809.809.809.809.809.809.809.809.80第三年初L30.95L20.95^2(10+L1)9.319.609.609.609.609.609.609.609.60第四年初0.000.95L30.95^2L20.9^3(10+L1)9.129.419.419.419.419.419.419.41第五年初0.000.000.95^2L30.95^3L20.95^4(10+L1)8.949.229.229.229.229.229.22101IF=10.4iS3iF=20.6iS（2）210.47iiFS420.7iiFS（3）已知需求的食物量，我们还想知道我们种植的粮食是否够吃，当然不管是否够吃我们都会把地种完，根据前面假设iN为第i年种植粮食亩数，故甜菜亩数为200-iN。于是可以求出每年产的食物量分别为：5iF（粮食）=0.9iN，iN=806iF（甜菜）=1.5（200-iN）接下来求种地的固定消费3150100(200N)2000050NiiiiCN种地劳动力时长消费4(2042(200N))1084000220iiiiCNN我们接下来把其他消费也求出来第i年的固定投资为1160000204001004000468000C2131415160000CCCC第i年养牛固定费用为2125001000iiiCSS第i年养奶牛劳动力时长消费5iC1212(1042)10100420iiiiSSSS第i年年末需要偿还贷款数额为60.2iCT接下来我们求第i年的总消费，但是有一件事我们需要先提前声明，由于农场场地的限制，我们在养的数量超过130头时，要额外投资2000元，知道了这一点，我们需要引入运筹学中的0—1变量，具体做法如下：11661211111212111(2000)13010=1=0iiijiijijjiiiiiiiiCaCaCJJSSaaJaa其中当时，，否则接下来我们计算收益，先计算奶牛产奶收益，我们前面求出年初的幼牛和奶牛的分布，根据实际情况可以知道，每年年末产奶的奶牛数量与每年年初的奶牛数量相同，因为年末的幼牛虽然有部分达到了2岁，可是还没有开始产奶，所以根据分析我们可以求出产奶收益为3iWi2=3700S上面我们已经把卖幼牛和奶牛的收益求出来了，也求出来了产奶收益，我们接下来分析最后一种收益，也就是第i年种地总收益。我们由于事先不完全知道每年年初养的具体的奶牛和幼牛数量，所以我们不知道种的食物是否够用，如果够用我们可以把多余的卖掉，也就是收益，如果不够，我们需要购买，原则上属于消费部分，我们只需要加上负号就可以了，也就是负收益。此时也很复杂，我们同样引入0-1变量，具体做