方程的根与函数的零点复习课件

开始学点一学点二学点三学点四1.函数零点的概念对于函数y=f(x)，我们把使的实数x叫做函数y=f(x)的.2.函数零点与方程根的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的，也就是函数y=f(x)的图象与的交点的.所以方程f(x)=0有函数y=f(x)的图象与函数y=f(x).f(x)=0零点实数根x轴横坐标实数根x轴有交点有零点返回3.函数零点的判断如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)，那么，函数y=f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a,b),使得，这个c也就是方程f(x)=0的根.4.二次函数的零点、二次函数图象与x轴的交点、一元二次方程的根三者之间的关系.0(a,b)f(c)=0返回有两个零点Δ=b2-4acΔ0Δ0Δ=0ax2+bx+c=0(a0)的根y=ax2+bx+c(a0)的图象y=ax2+bx+c(a0)的零点方程无实数根x1=x2=ab2aacbbx2422,1有一个二重零点没有零点返回学点一函数的零点求下列函数的零点:(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2-2x+3;(3)f(x)=x4-1.【分析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点就是求相应方程的实数根.返回【解析】（1）由f(x)=4x-3=0得x=，所以函数的零点是.（2）由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1)，因此方程f(x)=0的根为-3,1，故函数的零点是-3,1.（3）由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)，令f(x)=0，得x=1,-1,故函数的零点是1,-1.4343【评析】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得到函数的零点.返回（1）令lnx-3=0,得x=e3,∴函数的零点为x=e3.（2）方程x3-7x+6=0可化为x3-6x-x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0.即(x-1)(x-2)(x+3)=0得x1=-3,x2=1,x3=2,∴函数y=-x2-2x+3的零点为1,-3;函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.求下列函数的零点:(1)y=lnx-3;(2)y=x3-7x+6.返回学点二判断零点判断函数f(x)=x2-x-6的零点是否存在，若存在,说明零点所在的一个区间.【分析】要判断函数的零点的个数，实际就是考查方程x2-x-6=0的解的个数，即y=x2-x-6的图象与x轴的交点个数.【解析】考查函数f(x)=x2-x-6知图象为抛物线（如图所示），容易看出f(0)=-60,f(4)=60,f(-4)=140.返回【评析】(1)方程的解与函数零点的关系是解决本题的桥梁；(2)体会数形结合和函数与方程的思想的运用.由于函数f(x)的图象是连续曲线，因此,点B(0,-6)与点C（4,6）之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0,4)内必有一个点x1,使f(x1)=0；同样在区间(-4,0)内也必有一个点x2，使f(x2)=0,所以函数f(x)=x2-x-6有两个零点，分别在区间(0,4)和(-4,0)内.返回求证：方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上，另一个在区间(1,2)上.证明:令f(x)=5x2-7x-1,则f(0)=-1,f(1)=-3,f(-1)=11,f(2)=5.由f(-1)0,f(0)0知在(-1,0)上f(x)有一个零点，即方程f(x)=0有一根，同理，由f(1)0,f(2)0知方程在(1,2)上也有一根.返回学点三函数值符号的判定函数y=-2x2+x+3的自变量x分别在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0？【分析】首先求出函数的零点，然后利用零点，结合函数的两个性质，可以求出函数值大于0，小于0，等于0时自变量x的取值范围.【解析】由-2x2+x+3=0得x1=-1,x2=，所以函数的零点是-1和，亦即当自变量x取-1和时,函数值等于0.函数的两个零点-1和将数轴分成3个区间：(-∞,-1),（-1,）,（,+∞），在区间（-1,）内取特殊值23232323232323返回x=0，得其函数值f(0)=30，依函数零点的性质（2）知当x∈（-1,）时,有f(x)0；再依据函数零点的性质（1）知,当x∈(-∞,-1)和x∈（,+∞）时，都有f(x)0.因此，当自变量x∈（-1,）时,函数值大于0；当x∈(-∞,-1)∪（,+∞）时，函数值小于0；当x=-1和时，函数值等于0.2323232323【评析】求出函数的零点后，充分利用函数零点的两个性质，得到在不同的自变量的取值范围内，函数值的不同取值情况.返回求函数y=x2-2x-8在y0时，x的取值范围.解：∵y=x2-2x-8=(x+2)(x-4),∴函数的两个零点是-2和4,由图象可知当x∈(-∞,-2)∪(4,+∞)时,y0.-24xy返回学点四零点与不等式已知函数f(x)=x3-4x.（1）求函数的零点并画函数的图象；（2）解不等式:xf(x)0.【分析】由函数的零点判断作出函数图象.【解析】（1）因为x3-4x=x(x-2)(x+2)，所以函数的零点为0,-2,2.三个零点把数轴分成4个区间：(-∞,-2］,(-2,0］,(0,2］,(2,+∞).由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图象如图所示.返回（2）不等式xf(x)0x0x0f(x)0f(x)0,结合函数图象,得不等式的解集为(0,2)∪(-2,0).或【评析】根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数的图象，结合函数图象不仅可以直观的研究函数的性质，而且能够求解相关的不等式，这体现了以数辅形，以形助数的思想方法.返回返回已知函数f(x)=x2+2x-3m，当x∈(0,+∞)时，f(x)0，求m的取值范围.可分两种情况处理，即分无零点和有零点。（1）当f(x)无零点时,Δ=4+12m0,解得m-.所以当m-时,对于x∈(0,+∞),有f(x)0.（2）当f(x)有零点,且又满足x∈(0,+∞)时,f(x)0,有两个零点必落在(-∞,0)内,此时有Δ≥0m≥--ba≤0-2≤0ca≥0,-3m≥0,3131即31解得-≤m≤0.综上所述,得当x∈(0,+∞),f(x)0时,m的取值范围是m≤0.311.怎样判定函数f(x)在［a,b］上是否有零点?判定f(x)在区间［a,b］上是否有零点，可用下面方法：（1）函数在区间［a,b］上的图象连续，且它在区间［a,b］端点的函数值异号，则函数在［a,b］上一定存在零点；（2）函数图象连续且在区间［a,b］上存在零点，则它在区间［a,b］端点的函数值可能异号,也可能同号；上述方法只能用来判断函数零点的存在性，不能用来判断函数零点的个数.返回2.怎样理解函数零点与方程根的关系？3.函数值与零点有什么关系？返回目录设给出函数y=f(x)，则有方程f(x)=0y=f(x)y=f(x)的图象与x轴有交点.若方程f(x)=0有二重实根，则称函数y=f(x)有二阶零点.对于任意函数y=f(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有（1）当通过零点时,函数值变号.如函数y=x2-x-6的图象在零点-2的左边时，函数值取正号；向右通过零点-2时，函数值由正变负；继续向右通过零点3时,函数值又由负变正.（2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.返回2.求出函数的零点后，充分利用函数零点的两个性质，得到在不同的自变量的取值范围内，函数值的不同取值情况.1.求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得到函数的零点.返回