3.1.1方程的根与函数的零点

方程的根与函数的零点廉江市安铺中学李其枫引例1:判断下列方程是否有根，有几个实数根？2230xx（1）（2）（3）2230xx2210xx思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？函数的图象与x轴交点方程函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1x2－2x－3=0y=x2－2x+3知识探究（一）：方程的根与函数的零点方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的定义：注意：零点指的是一个实数；零点是一个点吗?方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点等价关系课堂练习：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x－4；（4）5x2＋2x＝3x2＋5.(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。(1)－x2＋3x＋5＝0(2)解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。(2)2x(x－2)＝－3(3)解：x2＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)=x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：.....它与x轴只有一个交点，所以方程x2＝4x－4有两个相等的实数根。xy0－13211254364(3)x2＝4x－4(4)解：5x2+2x＝3x2+5可化为2x2＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋2x－5,作出函数f(x)的图象，如下：xy0－132112－1－3－3－43－6－54－4－2－2.....它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x＝3x2+5有两个不相等的实数根。(4)5x2＋2x＝3x2＋5(1)y=－x2-x+20；(2)y=2x-1;拓展：求下列函数的零点。评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。求函数零点的步骤：(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；(3)写出零点012345-1-212345-1-2-3-4xy探究观察二次函数2()23fxxx的图象，如右图，我们发现函数2()23fxxx在区间2,1上有零点。计算(2)f和(1)f的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2,4上是否也具有这种特点呢？知识探究（二）：函数零点存在性原理问题探究观察函数的图象①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d)_____0（＜或＞）．知识探究（二）：函数零点存在性原理有有无如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根．零点存在定理：问题1:函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f（x）在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例说明。问题2:函数f（x）在区间(a，b）上有f（a）f(b）＜0，且有零点，那么一定只有一个吗？请举例说明。概念反思问题3:函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定有f(a)·f(b)0吗？1.函数y＝f（x）的方程的图象在区间（a，b）上必须是连续曲线，才能用上述方法判定．我们所研究的大部分函数，其图象都是连续曲线．2.在区间（a，b）内，当f（a）·f（b）＞0时，并不能判定方程f（x）＝0没有解．3.上述方法只能判定f（x）＝0解的存在，即至少有一解，但不能判断具体解的个数．例2.已知函数的图像是连续不断的，有如下表所对应值：那么函数在区间上的零点至少有_____个。X1234567f(x)239-711-5-12-261,7()fx()fx3x0－2－4－6105y241086121487643219表3--1x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972解：用计算器或计算机作出的对应值表（表3--1）和图像。)(xfx、求函数()26fxInxx的零点个数。问题：为什么上个问题中只有一个零点呢？说一说理由？。）是增函数，请证明它，在（函数0)(xf判断函数零点个数的一般步骤：1．用计算器或计算机列出x、f（x）的对应值表；2．用描点法作出函数的图象；3．取区间[a，b]，判断f(a)·f(b)0是否成立；4．判断函数f(x)的单调性；5．结合图象和单调性确定函数零点的个数；判断函数零点步骤可直接用计算机画函数图象唯一)(xf在ba,上单调0)()(bfaf)(xf在有ba,零点)(xf在ba,上连续零点的存在性定理练习：1．函数2()fxInxx的零点所在的大致区间是（）A．1,2B．2,3C．11,e和3,4D．,e2．若方程2210axx在0,1内恰有一解，则a的取值范围（）A．1aB．1aC．11aD．01a分析：令2()21fxaxx在0,1内恰有一解，则(0)(1)0ff。即1220a1a1．函数3()35fxxx的零点所在的大致区间为（）A．（-2,0）B．（1,2）C．（0,1）D．（0,0.5）课堂练习课堂小结：课后作业：1、求下列函数的零点：(1)y=-x2+6x+7；(2)y=x3-4x。2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25+b2的值。１、函数零点的定义；2、函数的零点与方程的根的关系；3、确定函数的零点的方法。