毕业设计论文：一维双原子链的色散关系

一维双原子链的色散关系Thedispersionrelationoftheone-dimensionaldiatomicchain学生姓名：吴刚所在专业：应用物理学班级：物理091指导教师：陈冰泉，刘彦平申请学位：理学学士论文提交日期：2013-6-5论文答辩日期：2013-6-18学位授予单位：青岛理工大学青岛理工大学毕业设计论文II摘要物理学中对晶格振动的研究一直是一个重要且有意义的课题。关于晶格振动的研究通常建立在原子链的研究上。本文在介绍关于原子链研究基础理论的基础上，讨论了一维单原子链晶格的色散关系，从一维双原子链的角度介绍了晶格的色散关系，然后在前面讨论的基础上对三维晶格的色散关系进行了推导。关于原子链色散关系的研究，让我们对于晶格振动有个更加清楚地认识。论文重点介绍了一维双原子链的色散关系，在公式推导的基础上，作者完成计算机编程和模拟计算，得到色散关系的曲线。关键词：晶格振动，一维单原子链，一维双原子链，三维晶格，色散关系AbstractThestudyoflatticevibrationhasbeenanimportantandmeaningfultopicinphysics.Theinvestigationoflatticevibrationisusuallybasedonthestudyofatomicchain.Withtheintroductionofthetheoreticalbasisofatomicchain,thisthesisdiscussesthedispersionrelationofone-dimensionalmonatomicchainlattice,aswellasthedispersionrelationofonedimensionaldiatomicchainlattice.Basedontheknowledgeabove,theequationsfordescribingthedispersionrelationofthreedimensionallatticearethenderived.Thestudyofdispersionrelationsallowsustohaveamoreclearunderstandingoflatticevibration.Thisthesismainlypresentsthestudyanddiscussionofthedispersionrelationofonedimensionaldiatomicchain.Inadditiontotheequationderivation,wecarryoutprogrammingandsimulationsforobtainingsomeimportantdispersion-relationcurves.青岛理工大学毕业设计论文III目录前言............................................................................................................................1第一章理论基础............................................................................................................3第二章一维单原子链的色散关系.....................................................................................62.1建立振动模型....................................................................................................62.2建立振动方程并求解..........................................................................................62.3玻恩-卡曼条件..................................................................................................82.4.qw的函数关系............................................................................................10第三章一维双原子链的色散关系...................................................................................133.1建立振动模型...................................................................................................133.2原子运动方程的求解........................................................................................133.3周期性边界条件..............................................................................................153.4对于声学波和光学波的讨论..............................................................................16第四章三维晶格振动的推导.........................................................................................214.1一维多原子链问题的处理.................................................................................214.2建立三维模型和求解运动方程...........................................................................214.3波矢q的取值和范围........................................................................................234.4理论上的计算..................................................................................................25第五章结论和讨论.......................................................................................................28致谢..........................................................................................................................29参考文献.....................................................................................................................31青岛理工大学毕业设计论文1前言讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的。但实际上，物质是在不断运动的，而量子力学告诉我们，即使达到绝对零度，仍然具有零点能的振动。我们一般常用晶体中的格点来表示原子的平衡位置，用晶格振动来表示原子在各个点附近的振动。晶格振动是研究固体宏观性质和微观性质的主要基础，人们最早对于晶格振动的一些研究是从晶体的热力学性质开始的。上世纪人们根据经典的统计规律来对杜隆-珀替经验定律进行说明（每摩尔固体都会有3N个振动自由度，按照能量的均分定律，每个自由度的平均热能是kT,那么摩尔热容量就为3Nk=3R），这是把原子振动和热容量相互联系起来的一个非常重要的成就。但是，上世纪人们通过大量的实验研究居然发现杜隆-珀替定律仅仅只是在室温或者更高的温度下，才与固体基本上是一致的，可是在温度较低的情况下，伴随着温度的降低，固体的热容量也开始再不断降低。在这个问题的困扰下，爱因斯坦进一步对于普朗克的量子假说进行了发展，第一次得到量子的热容量理论，发现了热容量在低温的情况下下降，并在T趋于零时趋于零的结论，这项在量子理论的发展中占有重要地位的研究，对于原子振动也有重要的影响。量子理论的热容量值和经典不同，它与原子振动的具体频率有关，也推动了对固体原子振动进行了具体的研究。研究晶格振动的意义远远不限于热学性质。晶格振动也是研究晶体的电学性质、光学性质、超电导性、结构相变、磁性………等一系列物理问题，晶格振动都起着很重要的作用。青岛理工大学毕业设计论文2晶格振动虽然是一个十分复杂的多粒子问题，但是在一定条件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最典型的例子，它的振动简单可解，又能反映出晶格振动的基本特点。原子振动也不是孤立的，而是相互联系着的，在晶体内形成各种模式波，我们通过研究原子链振动得出的色散关系能够帮助我们了解晶格振动.[1,2]青岛理工大学毕业设计论文3第一章理论基础如果晶体中包含N个原子，我们把平衡位置设为nR，把偏离平衡处的位移矢量设为)(tn，则得原子位置为)()()('ttRtRnnn。在处理一些小振动的问题时，我们常常选用偏离平衡位置的量为宗量。用分量来表示位移矢量n，所以N个原子的位移矢量总共会有3N个分量，写成i（i=1,2,3……，3N）。N个原子体系所包含的势能也可以在平衡位置附近用泰勒级数展开：高阶项iNiiVVV0310)(（1.1）下脚符号0说明是在平衡位置时才所具有的值。那么设V0=0,并且0)(0iV（1.2）忽略高于二阶的高阶项，我们得到：jiNjijiVV031,2)(21（1.3）该系统的势能函数就保留至i的二次方程，我们称它为简谐近似。处理小的振动问题时一般都采用简谐近似，至于一个具体的物理问题对于它是否可以采取简谐近似，还青岛理工大学毕业设计论文4要看在简谐近似条件下我们推导得到的理论结果是否与实验结果互相一致。在有些物理的问题上就需要考虑到高阶项的作用，一般称为非谐作用。为了使问题简化，引入所谓的简正坐标：N321Q,,，QQ简正坐标与原子的位移坐标i之间通过如下形式的正交变换相互联系：NjjijiiQam31（1.4）应用正则方程可以得到：02iiQwQi=1,2,……，3N（1.5）这是三个相互无关的方程，表明各个简正坐标描述独立的简谐振动，其中任意简正坐标的解为：)sin(wtAQi（1.6）iw是振动的圆频率iivw2，原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系（1.4）。只考察某一个jQ的振动时，公式（1.4）可以化为：)sin(twAmjiiji（1.7)这表明，一般讲，一个简正坐标并不是表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率相同。我们常称体系中所有原子一起参与的共同振动称为