随机信号分析习题

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随机信号分析习题一1.设函数0,00,1)(xxexFx,试证明)(xF是某个随机变量的分布函数。并求下列概率:)1(P,)21(P。2.设),(YX的联合密度函数为(),0,0(,)0,otherxyXYexyfxy,求10,10YXP。3.设二维随机变量),(YX的联合密度函数为)52(21exp1),(22yxyxyxfXY求:(1)边沿密度)(xfX,)(yfY(2)条件概率密度|(|)YXfyx,|(|)XYfxy4.设离散型随机变量X的可能取值为2,1,0,1,取每个值的概率都为4/1,又设随机变量3()YgXXX。(1)求Y的可能取值(2)确定Y的分布。(3)求][YE。5.设两个离散随机变量X,Y的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(AyAxyxyxyxfXY试求:(1)X与Y不相关时的所有A值。(2)X与Y统计独立时所有A值。6.二维随机变量(X,Y)满足:sincosYX为在[0,2]上均匀分布的随机变量,讨论X,Y的独立性与相关性。7.已知随机变量X的概率密度为)(xf,求2bXY的概率密度)(yf。8.两个随机变量1X,2X,已知其联合概率密度为12(,)fxx,求12XX的概率密度?9.设X是零均值,单位方差的高斯随机变量,()ygx如图,求()ygx的概率密度()Yfy490243-3()ygxx\10.设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数222WXYZX设X,Y是相互独立的高斯变量。求随机变量W和Z的联合概率密度函数。11.设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数2()WXYZXY已知(,)XYfxy,求联合概率密度函数(,)WZfz。12.设随机变量X为均匀分布,其概率密度1,()0Xaxbfxba,其它(1)求X的特征函数,()X。(2)由()X,求[]EX。13.用特征函数方法求两个数学期望为0,方差为1,互相独立的高斯随机变量1X和2X之和的概率密度。14.证明若nX依均方收敛,即l.i.mnnXX,则nX必依概率收敛于X。15.设{}nX和{}nY(1,2,)n为两个二阶矩实随机变量序列,X和Y为两个二阶矩实随机变量。若l.i.mnnXX,l.i.mnnYY,求证lim{}{}mnmnEXXEXY。随机信号分析习题二1.设正弦波随机过程为0()cosXtAwt其中0w为常数;A为均匀分布在[0,1]内的随机变量,即1,01()0,othersAafa(1)试求00030,,,44t时,()Xt的一维概率密度;(2)试求02tw时,()Xt的一维概率密度。2.若随机过程()Xt为(),XtAtt式中,A为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量,求[()]EXt及12(,)XRtt。3.设随机振幅信号为0()sinXtVwt其中0w为常数;V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。4.设随机相位信号0()cos()Xtawt式中a、0w皆为常数,为均匀分布在[0,2]上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。5.设()sin(),XtAwtt,()sin(),YtBwtt,其中A,B,w,为实常数,~[0,2]U,试求(,)XYRst。6.数学期望为()5sinXmtt、相关函数为2210.5()12(,)3ttXRtte的随机信号()Xt输入微分电路,该电路输出随机信号()()YtXt。求()Yt的均值和相关函数。7.设随机信号3()cos2tXtVet,其中V是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的随机信号0()()tYtXd。试求()Yt的均值、相关函数、协方差函数和方差。8.利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程cos,()2,tXtt出现正面出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。(1)求()Xt的一维分布函数(,1/2)XFx和(,1)XFx;(2)求()Xt的二维分布函数12(,;1/2,1)XFxx。9.给定一个随机过程()Xt和任一实数x,定义另一个随机过程1,()()0,()XtxYtXtx证明()Yt的均值函数和自相关函数分别为()Xt的一维和二维分布函数。10.定义随机过程1,()1,nXtn第次投掷均匀硬币出现正面第次投掷均匀硬币出现反面0,1,2,,(1)nnStnS,S为正常数,设[0,]US,且与()Xt相互独立,令()()YtXt,试求(,)XRst与(,)YRst。11.考虑一维随机游动过程nY,0,1,2,n,其中00Y,1nniiYX,iX为一取值1和1的随机变量,已知(1)iPXq,(1)iPXp,0,1pq,1pq,且iX,1,2,i相互独立,试求:1)()nPYm;2)nEY和nDY。12.考虑随机过程()Xt,其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状,将0t时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T,假设0T是一个均匀分布的随机变量01,0()0,othersTTtTpt求()Xt的一维概率密度()Xpx13.将上题中的锯齿波过程作一点改动,使每个脉冲的幅度A为服从麦克斯韦(Maxwell)分布的随机变量22232exp,0()20,0Aaaapabba其中0T的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度A之间统计独立,并均与0T统计独立,求()Yt的一维概率密度()Ypy。14.考虑一个正弦振荡器,由于器件的热噪声和分布参数的影响,振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程()sin()XtAt其中振幅A、角频率和相位是相互独立的随机变量,并且已知:0202,0()0,othersAaaAApa1,250350()1000,otherswpwY(t)tTT0tTT0X(t)A1,02()20,othersp求()Xt的一维概率密度。随机信号分析习题三1.设有零均值的平稳过程()0Xtt,,其相关函数为()XR,令0()()tYtXsds0t求()0Ytt,的方差函数和协方差函数。2.设()Xtt,是平稳过程,且()1EXt,2()1XRe,求随机变量10()SXtdt的数学期望和方差。3.设随机过程()()()ZtVXtYtt其中平稳过程()Xt和()Yt及随机变量V三者相互独立,且0XYmm,()Xt的相关函数为2()2cosXRe,()Yt的相关函数为3()9YRe,又2EV,9DV。求()Zt的数学期望,方差和相关函数。4.设平稳过程()Xtt,,其相关函数为()XR,且()(0)XXRTR,0T是常数。证明:(1)(()())1PXtTXt(2)()()XXRTR5.设()cosXtAwt,t,其中w是常数,A是随机变量,具有概率密度函数101()0othersAxfx讨论()Xtt,的严平稳性。6.设A是任意的随机变量,是与A相互独立的,且在[0,2]上服从均匀分布的随机变量,令()sin()XtAwt,t,0w是常数,证明()Xtt,是严平稳过程。7.设()Xtt,是一个零均值的平稳过程,而且不恒等于一个随机变量,令()()(0)YtXtX,t。判断()Ytt,是否为平稳过程。8.设()cossinZtYtXt,t,其中X和Y是相互独立的随机变量,且2(1)(1)3PXPY,1(2)(2)3PXPY。(1)求()Ztt,的均值函数和相关函数;(2)证明()Ztt,是宽平稳过程,但不是严平稳过程。9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程()Xt,其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每个样本函数都具有相同的形状,将0t时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T,假设0T是一个均匀分布的随机变量01,0()0,othersTTtTpt判断()Xt平稳性。10.(上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器,由于器件的热噪声和分布参数的影响,振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程()sinXtAt其中振幅A、角频率和相位是相互独立的随机变量,并且已知02020()0AaaAApaotherstTT0X(t)A1250350()1000wpwothers102()20pothers(1)求()Xt的一维概率密度;(2)()Xt是一阶平稳过程吗?11.设()Xtt,是平稳过程,其协方差()XC是绝对可积,即()XCd。证明()Xtt,的均值具有各态历经性。12.设随机过程()()ZtXtY,其中()Xt是一平稳过程,Y是与()Xt无关的随机变量,讨论过程()Zt的遍历性。13.设()cosXtAwt,t,其中0w是常数,A和是相互独立的随机变量,且[0,2]U,研究()Xtt,的各态历经性。14.随机过程()XtX,t,其中X是具有一、二阶矩的随机变量,但不服从单点或两点分布()1PXa,0a,讨论它的各态历经性。随机信号分析习题四1.已知平稳过程()Xt的相关函数如下,试求它的功率谱密度(1)0()cos,0aXRewa(2)0001,()0,XTTRT2.设()Xt为一个随机电报波过程,它的一个样本函数如图所示。已知在任一时刻波形取A和A的概率相同,在时间间隔内波形变号的次数n服从参数为的泊松分布()(,)!nPnen(1)求()Xt的自相关函数;(2)求()Xt的功率谱密度函数。3.已知平稳过程()Xt和()Yt的功率谱密度为2424()109XwS242()32YwS求()Xt和()Yt的自相关函数和均方值。4.若()Xt是平稳随机过程,如图所示证明过程()Yt的功率谱密度为()2()(1cos)YXSwSwwT5.设()Sw是一个平稳过程的功率谱密度函数,证明22()dSwdw不可能是平稳过程的功率谱密度函数。6.设随机过程()cos()Xtat,其中a为常量,和为相互独立的随机变量,且均匀分布于(0,2),的一维概率密度为偶函数,即()()aafwfw,求证()Xt的功率谱密度为2()()XaSwafw7.设()Xt和()Yt是联合平稳的。试证明0t0AA()Xtt()Yt()Xt延时T+Re()Re()XYYXSwSwIm()Im()XYYXSwSw8.给定一个随机过程0()cos()XtAwt式中,A和0w为常数,为均匀分布于(0,2)的随机变量(1)求()Xt的平均功率;(2)求()Xt的功率谱密度。9.若平稳过程()Xt的功率谱密度为()XSw,又有0()()cosYtaXtwt式中,a为常数,求功率谱密度()YSw。10.设()Xt和()Yt是两个相互独立的平稳过程,均值函数Xm和Ym都不为零,已知Xm和Ym,以及()Xt和()Yt的功率谱密

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