第十八章平行四边形复习课

第十八章平行四边形复习课本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系．创设情境回顾知识平行四边形矩形菱形正方形本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系．创设情境回顾知识矩形菱形正方形平行四边形整理知识优化知识结构你能把本章知识整理成知识结构图吗？试一试！你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定吗？三个角是直角四条边都相等两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分四边形平行四边形矩形菱形正方形正方形一组邻边相等一个角是直角本章知识结构图知识概要（平行四边形）性质判定边①对边分别平行两组②两组对边分别相等①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角①对角相等，②邻角互补。有两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线两条对角线相互平分两条对角线相互平分的四边形是平行四边形知识概要性质判定边①两组对边分别平行②两组对边分别相等有一个角是直角的平行四边形是矩形角矩形的四个角都是直角有三个角是直角的四边形是矩形对角线矩形的两条对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形(矩形)知识概要性质判定边菱形的四条边都相等.①一组邻边相等的平行四边形是菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.角①对角相等.②邻角互补.对角线菱形的两条对角线互相垂直；并且每条对角线平分一组对角.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(菱形)性质判定边正方形的四条边都相等.有一组邻边相等的矩形是正方形.角正方形的四个角都是直角有一个角是直角的菱形是正方形.对角线正方形的两条对角线相等.并且互相垂直平分.每条对角线平分一组对角.①对角线相等的菱形是正方形.②对角线互相垂直的矩形是正方形.(正方形)知识概要题型分析1.平行四边形的判定、性质及其应用例题1.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CF，DE分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD，∠CDA的平分线，试猜想（1）EF与AB的位置关系；（2）EF与AB和AD的数量关系，并说明你的结论.FCEDBA∴EF∥AB（1）EF∥AB，理由：延长DE交AB于G，延长BF交CD于H，∵DE是∠CDA的平分线，BF是∠ABC的平分线，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∴∠ABF=∠CDE，∵AB∥CD，∴∠CDE=∠AGD，∴∠AGD=∠ABH，∴DG∥BH，∴AE⊥DG，∴E是DG的中点，同理F是BH的中点，∵AE、DE分别为∠DAB、∠CDA的平分线，∠CDA+∠DAB=180°，FCEDBAGH∴∠ABF=∠ABC，∠CDG=∠ADC，∴四边形BHDG是平行四边形∴DG=HB,DG∥BH∵∠CDE=∠AGD，∠CDE=∠ADG∴∠AGD=∠AGD，∴AD=AG∴EG=BF,EG∥BF∴四边形BFEG是平行四边形FCEDBAGH（2）EF=AB-AD，由（1）可知EF=GB，AG=AD∵GB=AB-AG∴EF=AB-ADC2.矩形的判定、性质及其应用例题1.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）(A)4(B)6(C)8(D)10例题2.已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．FCEDBAOFCEDBAPQ图1图2备用图FCEDBAPQ解：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8﹣x)cm，在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+(8-x)2=x2，解得x=5，∴AF=5cm．FCEDBAO图1（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=12﹣4t，∴5t=12﹣4t，解得，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．FCEDBAPQ图2②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．FCEDBAPQFCEDBAPQFCEDBAPQ图1图2图3例1.将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你会发现这是一个菱形.你能解释其中的道理吗？3.菱形的判定、性质及其应用CDBA若展开后的菱形纸片ABCD中，两条对角线AC=，BD=4.（1）求菱形ABCD的面积；（3）求∠ADC的度数.（2）求菱形ABCD的周长；CDBAO如果想得到一个正方形，该怎么剪？并解释你这样做的道理。想一想CDBAO1CBAFE例题2.如图，是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架.已知其中每个菱形的边长为20cm，在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A,B之间的距离为cm,则∠1=.例题3.如图△ABC的三边为BC的同侧作的等边△ABD,△BCE,△ACF,请回答下列问题:（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF为矩形？菱形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?EFCBAD解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形例题3.如图△ABC的三边为BC的同侧作的等边△ABD,△BCE,△ACF,请回答下列问题:（1）四边形ADEF是什么四边形？EFCBADEFCBAD例题3.如图△ABC的三边为BC的同侧作的等边△ABD,△BCE,△ACF,请回答下列问题:（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF为矩形？菱形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．4.如图，矩形ABCD的面积为20cm²，对角线交于点O.以AB，AO为邻边作平行四边形AOC₁B，它的对角线交于点O₁;以AB，AO₁为邻边作平行四边形AO₁C₂B……依次类推，则平行四边形AO₄C₅B的面积为（）cm².A.B.C.D.4.正方形的判定、性质及其应用例题1.如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度.ABPQMDCN30例题3.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3，正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=.4经过观察每连续翻转4次为一循环，点P移动4个单位；点P第一次向右移动2个单位，第二次移动1个单位，第三次移动0个单位，第四次移动1个单位.2009次不是完整的循环，而前面完整的循环共翻转了2008次所以平移了2008个单位，最后一次翻转为一循环中第一次所以移动2个单位.综上一共平移了2010个单位，但P点一开始的时候横坐标为-1所以此时为2010-1=2009.例题4.如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2009次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4…P2009…的位置，则P2009的横坐标x2009=__________,x2018=,x2019=,x2020=．2009201820182019例题5.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F.如图甲，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．（1）如图乙，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E.①求证：DF＝EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图丙并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）OFCBAD(P).OFCBADPE.OFCBADP.图甲图乙图丙解：（1）①连接PD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，CB=CD，∵PC=PC∴△BCP≌△DCP∴∠PBC=∠PDC，PB=PD∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°∴∠PBC=180°-∠PEC而∠PED=180°-∠PEC∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，∵PF⊥CD，∴DF=EF.ODCBA.PFEODCBA.PFE证明：作PG⊥AD于GG∵∠D=∠PFD=∠PGD=90°②线段PC、PA、CE之间的等量关系是：PC-PA=CE在Rt△AGP中∵AG=PG∴PG=AP同理：CF=PC∴四边形PGDF是矩形∴PG=DF∵CF-EF=CE∴PC-PA=CE（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=CE.OFCBADP.E6.探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF。感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠_________，又AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌_______，