静电场之均匀带电球面球体和球壳的电场

{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场(1)一均匀带电球面，半径为R，带电量为Q，求电荷产生的电场强度和电势。如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电场强度和电势。(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为R0和R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？[解析](1)如图所示，不论球面还是球体，由于电荷分布具有球对称性，所激发的电场也是球对称的，用高斯定理求解比较简单。设Q0，不论场点在球内还是在球外，由于对称的缘故，电场线都沿着球心到场点的连线。对于球外的点P1，以O为球心，过P1点作一个半径r的高斯球面S1。在P1点取一个面积元dS，其法线方向与场强方向一致，通过该面积元的电通量为dΦE=E·dS。S1rEP1rORQ{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场通过高斯面的电通量为=E4πr2高斯面所包围的电量为Q，根据高斯定理ΦE=Q/ε0，可得场强大小当Q0时，场强的方向沿着径向向外；当Q0时，场强的方向沿着径向向内。(rR)ES2P2rS1EP1rORQdΦE=E·dS。ddESSES蜒ESdSESÑ2204πQkQErr对于球面内的点P2，同样作高斯面，高斯面内Q=0，根据高斯定理得E=0(rR)可见：在均匀带电球面内，场强为零；在均匀带电球面外，各点的场强与电荷全部集中在球心处的点电荷所激发的场强相同。在球的外表面，场强大小为02kQER可见：球面内外的场强发生跃变。{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场取无穷远处的电势为零，取一条从P1开始的电场线作为积分路径，则P1的电势为当r=R时，球壳外表面的电势为2204πQkQErr(rR)可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同。E=0(rR)取一条从P2开始的电场线作为积分路径，则P2的电势为球面内任何一点的电势都与表面的电势相同，球内空腔是一个等势体。2dddrrrrkQkQUErrrrEskQr(rR)0kQURdddRrrRUEsEsEs0kQUR(rR)球面所有电荷到球心的距离都是R，球面的电势就是所有电荷在球心产生的电势。20ddRRkQErrrES2P2rS1EP1rORQ对于均匀带电球体，球体外的电场强度和电势与均匀带电球面的公式是相同的。在球体内取一个高斯面，高斯面内有电荷，并且电荷的体密度处处相等。球体的全部体积为VR=4πR3/3，电荷的体密度为ρ=Q/VR，高斯面内的体积为Vr=4πr3/3，高斯面内的电量为q=ρVr=QVr/VR=Qr3/R3，根据高斯定理得方程ΦE=E4πr2=q/ε0，球体内场强为3304πQrkQrERR(rR)球心处的场强为零，球内场强与半径成正比。在r=R处，场强有02kQEER场强在球面上的变化是连续的。取一条从P2开始的电场线作为积分路径，则P2的电势为dddRrrRUErErEs223()2kQkQRrRR223(3)2kQURrR均匀带电球体不是等势体，球心处的电势最高。{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场球面内部的场强为零，球面外部场强随距离的增加而减小。在球面的内外表面，电场强度不连续。均匀带电球面内外的电势是连续的，球面内电势是一个常量，球面外电势随距离的增加而减小。球体内场强与距离成正比，球体外的电场强度与球面外电场强度的变化规律是相同的；在球的内外表面，电场强度是连续的。均匀带电球体中心的电势最高，球体内的电势随距离的增加而加速减小，球体外电势与球面外电势的变化规律是相同的。{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为R0和R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？根据高斯定理可先求电场强度，再求电势。反过来，利用均匀带电球体的电势先求球壳的电势，再求电场。均匀带电球体的电量与电荷体密度的关系为球体外部的电势用电荷密度表示为34π3QVR34π3kQkURrr303Rr(rR)球体内部的电势用电荷密度表示为222232(3)π(3)23kQURrkRrR220(3)6Rr(rR)其中ε0=1/4πk，称为真空介电常数。AOR0BRrArBCrC{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场如图所示，A、B、C三点代表三个区域。均匀带电球壳的电荷体密度为303RUr(rR)在球壳的空腔中同时填充两个半径为R0，电荷体密度为ρ和-ρ的球体，空间各点的电势就是半径分别为R和R0，电荷体密度分别为ρ和-ρ的均匀带电体球产生的。220(3)6RrU(rR)A点在两个球体之内，正负电荷球产生的电势为33034π()QQVRR220(3),6ARrU2200(3)6ARrUA点的电势为2200()2AAARRUUU220033220003()3()2()2()kQRRkQRRRRRRRR空腔内的电势为常量。A点的场强大小为d.0dAAUEr(r≤R0)AOR0BRrArBCrC{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场B点在正电荷球体之内，负电荷球体之外，正负电荷球产生的电势为303RUr(rR)220(3)6RrU(rR)B点的电势为当r=R0时，B点的电势为这正好是空腔中的电势。(R0≤r≤R)220(3),6BRrU3003BRUrBBBUUU322002(3)6RRrr32203302(3)2()RkQRrRRr2203303()2()BkQURRRRB点的场强大小为303320d()d().BBRUkQErrRRrAOR0BRrArBCrC{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场C点在正负电荷球体之外，正负电荷球产生的电势为303RUr(rR)220(3)6RrU(rR)C点的电势为(R≤r)C点的场强大小为30,3CRUr3003CRUrCCCUUU3300()3RRrkQr2ddCCUkQErr可见：C点的电势和场强等效于全部电荷集中在球心产生的。AOR0BRrArBCrC{范例9.6}均匀带电球面、球体和球壳的电场(R≤r)①当R0=0时，空腔缩为一点，球壳就变成球体。CkQUr2CkQErA点(球心)的电势为022003()2()AkQRRURRRREA=0(r≤R0)32203302(3)2()BRkQURrRRr303320()()BRkQErRRr(R0≤r≤R)[讨论]32AkQUR(r=0)B点的电势为223(3)2BkQURrRB点的场强大小为3BkQErR(0≤r≤R)当r=0时，UB=UA，EB=EA=0。②当R0→R时，球壳就变成球面。A点的电势为AkQURB点的电势UB→UA。不妨取球壳内半径与外半径之比为0.5。空腔内的场强为零，球壳内的场强随距离增加而增强，球壳外的场强随距离的增加而减小。在球壳的内外表面，电场强度是连续的。空腔内的电势是常数，球壳中的电势随距离的增加而加速减小，球壳外电势随距离的增加而减速减小。