初中数学猜想题的几种解法

初中数学猜想题的几种解法吴贵兴摘要：猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法，而掌握猜想方法要有一定的技巧，掌握常见的等差型、等比型、平方型等题型的解题技巧，对猜想思维的提高有很大帮助。本文通过例说实践与探索，总结猜想思维能力题的某些特殊规律，掌握其中解猜想题的技巧，从而促进猜想思维能力的提高，培养学生分析问题、解决问题的能力，开发学生智能，达到培养学生正确认识数学观点和掌握数学方法，提高学生解猜想题、应用数学的能力。关键词：开放性、猜想、解题、方法、技巧、等差型、等比型。在实施素质教育的今天，猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法。因此，现在我们更加注重猜想思维的培养和应用，特别是用于评价学生的思维能力。近年来，求解猜想题在各类考试中随处可见；而教材中却没有专门涉及到猜想题的内容，这让部分教师非常的苦恼。据统计，在考试中能做对这类题的学生仅有百分之十四左右（在我的两个教学班中统计），且花时间比较多。我们如何解决这个问题，让普遍的学生能做猜想题，提高猜想思维能力。为此，笔者总结猜想思维的特征，研究关于“猜想”的辅助课如下：一、等差型（kn+a型）问题:用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子枚数为_________（用含n的代数式表示）。[1]○○○○○○○○○○●●●○〇〇○○●●○○●●●○……○●○○●●○○●●●○○○○○○○○○○○○○(第一个)(第二个)(第三个)……(第n个)分析:图形序号第1个第2个第3个第4个……第n个白棋枚数81216……观察上表得出特征:第一个以后的每一个图案的白棋枚都比它前一个图案的白棋多4枚,因此第4个的白棋数应为16+4=20枚。那么，第n个图案的白棋数呢？请观察：（1）4×1+4=8（2）4×2+4=12（3）4×3+4=16（4）4×4+4=20由此看出，第n个图案的白棋数为：4n+4枚。一般地，如果数列后一个数总比前一个数大к（等差数列），则第n个数为kn+a(a为待定的已知数)。例1：用黑白两种颜色的正方形纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案如下：□□□□□□□■□□■□■□□■□■□■□……□□□□□□(第1个)(第2个)(第3个)……（1）第4个图案中有白色纸片___________张（2）第n个图案中有白色纸片___________张（用含n的代数式表示）。解:数出图案的白色纸片张数如下:图形序号第1个第2个第3个第4个……第n个白纸张数4710……有：7-4=310-7=3……因为,后一个图案的白色纸片纸张数总比前一个图案的白色纸片张数大3,即k=3。所以,第4个图案有白色纸片10+3=13张。第n个图案有白色纸片3n+a张,而当n=1时,3n+a=4,解得，a=1.即第n个图案有白色纸片(3n+1)张。检验：当n=2时,3n+1=3×2+1=7；当n=3时,3n+1=3×3+1=10均满足题意。所以第n个图案有白色纸片(3n+1)张。例2：用长度相等的火柴拼成下面由三角形组成的图形：（1）（2）（3）（4）第n个图形需要火柴的根数是________根（用含n的代数式表示）。[2]解：依次数出火柴棒的根数如下：图形序号第1个第2个第3个第4个……第n个火柴根数3579……因为有:5-3=2,7-5=2,9-7=2……所以，k=2.因此猜想第n个图案的火柴棒根数为(2n+a).当n=1时,2n+a=2+a=3,解得a=1.检验:当n=2时,2n+1=2×2+1=5.满足题意。所以,第n个图形需要火柴的根数是(2n+1)根。试一试:1．如下图,正方形通过多次划分,得到若干个正方形,请你通过观察猜想,第n次划分图中得到的正方开形的个数为_________(用含n的代数式表示)第1次第2次第3次参考答案:图形序号第一次第二次第三次……第n次正方形个数5913……4n+1所以,第个n次划分图中得到的正方形的个数为(4n+1)。2．下列每个图案是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）n(n﹥1)有盆花，每个图案花盆的总数是s。※※※※※※※※※……※※※※※※※※※n=2，s=3n=3，s=6n=4，s=9按此规律推断，s与n的关系式是__________。[3]参考答案:n2345……ns36912……3n-3所以,S=3n-3.二、等比型(kn+a型）问题：如图是一幅“五角星图”，第一行有1个，第二行有2个，第三行有4个……,你是否发现五角星的排列规律?猜猜看,第十行有_____个五角星。★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★分析:先找到五角星与行数之间的关系如下:行数第1行第2行第3行第4行……第n行五角星数1248……此时,差不再相等;而有:2÷1=2,4÷2=2,8÷4=2……也就是说,后一行的五角星数总是前一行的五角星数的2倍.请观察:（1）20=1即2(1-1)=1（2）21=2即2(2-1)=2（3）22=4即2(3-1)=4（4）23=8即2(4-1)=8所以,第n行的五角星数为:2n-1个。一般地，如果数列后一个数总是前一个数的к倍（等比数列），则第n个数为kn+a(a为待定的已知数)。例3：下面规律排列的数：1，2，4，8，16，……第2007个数应是_______.解:列表序号12345……n序列数124816……有:2÷1=24÷2=28÷4=216÷8=2……即k=2.于是,猜想第n个数为2n+a,而当n=1时,kn+a=2n+a=2a+1=1.解得,a=-1.即第n个数为2n-1.检验:当n=2时,2n-1=22-1=2,当n=3时,2n-1=23-1=22=4,均能成立.因此,第n个数为2n-1.当n=2007时,2n-1=22007-1=22006.所以,第2007个数应为22006。例4：有人编了条手机短信：“鬼节快到了，壹福、贰禄、叁寿、伍财、陆路妖怪都来保佑你。你要转给六个好友，两天后定有好运临头，如删除或是不发背运一年！发吧，不发被逼哦！”发给了一个朋友，这位朋友不想被诅咒，于是就转发给了6个朋友，这6个人又各转发给6位朋友……假设收到此短信的人都各转发给6位朋友;那么,第一次转发共发6条,第二次转发共转发6×6=36条,第三次转发共发36×6=216,第10次转发共发______条短信,第n次呢?解:列表表示转发次数与短信条数的关系如下:转发次数1234……n短信条数636216216×6……有:36÷6=6216÷6=6(216×6)÷6=6……即=6,于是猜想第n次共转发6n+a条短信,当n=1时,6n+a=61+a=6,解得,a=0.即第n次转发的短信条数共6n条.检验:当n=2时,62=36;当n=3时,63=216符合要求.所以,第n次转发的短信条数共为6n条.当n=10时，6n=610=60466176条，第十次转发共发60466176条。三、平方型(n2+a型)问题：如图，第（1）个图形的点数是1，第（2）个图形的点数是1+3，第（3）个图形的点数是1+3+5，……那么第(n)个图形的点数是______________。●●●●●●●●●●●●●●（1）（2）（3）……分析:数出图形点数如下表序号第1个第2个第3个第4个……N点数11+3=41+3+5=91+3+5+7=16……根据等差型，得到第个图的点数为：1+3+5+…+(2n-1)请看,(1):12=1(2):22=4(3):32=9(4):42=16因此，猜想（n）：1+3+5+…+(2n-1)=n2证明:1+3+5+7+…+(2n-1)=1+3+5+…+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)=[(1-1)+(3-3)+(5-5)+…]+(2n+2n+…2n)0.5n个2n=2n×0.5n=n2所以，第(n)个图形的点数是n2点。观察数列1，4，9，16,……,4比1多3,9比4多5,16比9多7,……又观察数列0，3，8，15，24……,3比0多3,8比3多5,15比8多7,……且有:(1)12-1=0,(2)22-1=3,(3)32-1=8,(4)42-1=15,……猜想第n个数为n2-1。一般地,如果数列后一个数与它的前一个差逐渐大2,那么,可猜想这排列的第n个为n2+a(a为待定的已知数).例5:如图是由一个三角形，连结各边的等分点而得到的小三角形，根据下列图形的变化规律，求得第n个图形中共有_________个最小三角形.(1)(2)(3)……解:数出图中的小三角形,第一个图有1个小三角形,第二个图有4个小三角形,第三个图有9个小三角形,可以画出第四个图形数出有16个小三角形……观察,有:4-1=3,9-4=5,16-9=7,……3,5,7,是一列相差2的奇数,于是猜想第n个图形中共有(n2+a)个最小三角形.当n=1时,n2+a=1,解得,a=0.当n=2时,当n=3时经检验成立,所以第n个图形有n2个最小三角形。试一试:下表是由自然数组成的金字塔式的排列,先观察其规律,再猜测第25行右往左第26个数是_______;第38行有___________个数.[4]12345678910111213141516171819202122232425……分析：通过观察数表发现：第二行最右边数4=22，第三行最右边数9=32，第四行最右边数16=42，第五行最右边数25=52，从而可知,第n行最右边数为n2.其实,本题最右和最左都满足平方型。参考答案:第n行最右边的数必为n2,从而第25行最右边数秘为252=625,向左第26个数为600,第38行最右边数为382,第37行最右数为372,其差为382-372=75,所以第38行数目个数为75个。四、大胆猜想型问题:借助计算器在草稿上计算下列式子:2234,223344,22333444,仔细观察结果。试猜想22333...344...4=_______[5]分析：在草稿上算出：2234=5,223344=55,22333444=555，……,观察抽象出计算结果各位上的数字都是5,且其位数与左边两个幂的底数位数都相同,所以猜想22333...344...4=55…5。像这样的题型就得仔细观察并抽象出特征，大胆的猜想出其结论。一般地，在初中阶段大多猜想结论是无法证明的，但我们可以仔细的观察并抽象出特征，从而大胆的猜想出其结论。例6：请观察思考下列计算过程：因为112=121，所以，121=11；同样，：因为，1112=12321，所以，12321=111；……由此猜想:12345678987654321=________________。[6]解:观察并抽象出被开方数为自然数先升高后降低,其结果每位数都是1,共有位数和最大的自然数相同,从而大胆猜想12345678987654321=1111111112.试一试:1.研究下列等式,你会发现什么规律?(1)1×3+1=4=22(2)2×4+1=9=32(3)3×5+1=16=42(4)4×6+1=25=52请你将第n个等式用公式表示为______________________.参考答案;n(n+2)+1=(n+1)2通过这种训练，进一步确信了猜想作为一种思维思维方法的正确性。同时，也进一步激发了学生对猜想思维方法实践的兴趣。由上看出，凡考察猜想方面的问题，均先要给出一些具体有限的事物，通过对这些具体有限的事物进行观察，并抽象出特征，观察问题不但要深刻、透彻；而且角度大都不是唯一的，除了上述个绍的方法外，对于每个题目大都有其特殊性，根据这种特殊性往往也能方便、快捷地达到所要完成的效果。例如对例2除上述解答外，还可以从给出图形中观察出另一特征：每两个相邻三角形有一个公共边，且公共边的条数比三角形的个数少1，因此猜想出第n个图形的火柴棒数是3n-（n-1）=2n+1。又如例5中的数列1、4、9、16……可直接扑看出:12=1、22=4、32=9、42=16……,因此抽象出第n个数是n2.参考文献：