任意项级数的敛散性判别

复习正项级数判别法：（1）?0limnnu（2）比值判别法（含n的阶乘）或根式判别法（通项中含有n次幂）（3）比较判别法极限形式(含对数函数时经常采用比较法)（4）比较判别法不用比较对象需要敛散性已知的比较对象11:1npnp级数、发散时当收敛时当,1,1pp敛散性、02nnaq发散时当收敛时当,1,1qqn113n、调和级数.发散极限形式：非极限形式：比较判别法：发散发散，则收敛收敛，则则nnnnnnvuuvcvu,发散发散，则收敛收敛，则同敛散若给定nnnnnnnnuvruvrrrvuv,,0,0lim,比值判别法：（不需要比较对象）ruunnn1lim方法失效发散则收敛则,1,1,1rururnn根式判别法：（不需要比较对象）runnnlim方法失效发散则收敛则,1,1,1rururnn§7.3任意项级数敛散性的判别•一、交错级数•二、莱布尼兹判别法•三、绝对收敛、条件收敛一、任意项级数、交错级数的定义定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.1nnu若是正项级数,1nnnuS则收敛其部分和数列有界.1nnu若是任意项级数,1nnnuS则收敛其部分和数列有界.？11(1)nn11111101nnSn为偶数为奇数,nS有界11(1).nn但发散nnnu11)1(定义正、负项相间的级数称为交错级数.)0(nu其中4321uuuu4321uuuunnnu1)1(二、莱布尼兹判别法（交错级数）1231(1)nnuuuuu(2)lim0nnu11(1):nnnu莱布尼兹判别法若交错级数满足111(1).nnnusu则收敛,且它的和,01nnuu21234212()()()nnnSuuuuuu2{},nS即数列是单调增加的证212322212()()nnnnSuuuuuu又1u2,nS数列是有界的21lim.nnSsu,0lim12nnu21221limlim()nnnnnSSu,s.,1uss且级数收敛于和例判别级数1(1)nnn的收敛性.解,1nnuununnn1limlim.0所以原级数收敛.（1）,111nn（2）,1nun11(1)nnnu11nn例判别级数11)1()1(nnnn的收敛性.解,1nnuu)1(limlimnnunnn.0原级数收敛.（1）nn1112nn（2）nnn11limnnun1121nn1nu例判别级数1112)1(nnnn的敛散性.解12limnnn021原级数发散.nnulim注：对于交错级数,0lim,)1(nnnnuu若则一定发散.lim0nnu22lim(1)0nnnulim(1)0nnnu11(1).nnnu发散例判别级数11ln)1(nnnn的收敛性.解考察函数的单调性。xxxfln)(,ln)(nnnfun2ln1)(')1(xxxf)3(,0x,}ln{,3单调递减故当nnnxxxlnlim.0原级数收敛.nnnlnlim)2(xx1lim当nu的单调性不好判断时，可借助函数f(x)的单调性对f(n)进行判断，不可以直接对f(n)求导。注：对于交错级数nnulim不容易求解时，可转换为函数极限问题；,)()1()1(11nfunnn当例判别级数21)1(nnnn的收敛性.)1(xx)2(0x解,1单调递减故函数xx1(2),nnuun1limlim)2(nnunnn.0原级数收敛.(1)考察函数的单调性。1)(xxxf2)1(2)1(xxx例判别级数2(1)lnnnnn的收敛性.1()lnxx)2(0x解1,lnxx故函数单调递减1(2),nnuun(1)考察函数的单调性。1()lnfxxx211lnxxx21lnxxxx1(2)limlimlnnnnunn1limlnxxxlimlnxxxlnlim1xxxxln1lim1xxxx221lnlim1xxxxlim1lnxx0lim0nnu原级数收敛.三、绝对收敛和条件收敛定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.证明：||||nnnuuu0||2||nnnuuu1||nnnuu是正项级数,1||nnu且是收敛级数.1||().nnnuu也是收敛级数正项级数的比较判别法11||||nnnnnnuuuu从而也是收敛级数.1||nnu注：发散，1nnu发散1111|1|nnnnn（）发散,nn11(-1)n但收敛.1nnu对于收敛的任意项级数来说，1||nnu有些收敛，1||nnu而有些发散。收敛，例：21nn1(-1)n收敛，n1(-1)1nnn22n1n111(-1)nn收敛.nn1n111(-1)nn=发散。则称1nnu为绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.定义若1nnu收敛,11||nnnnuu收敛，收敛1nnu绝对收敛1nnu条件收敛收敛发散，11nnnnuun2n11(-1)n例：nn11(-1)n绝对收敛条件收敛11||nnnnuu收敛，收敛1nnu绝对收敛1nnu条件收敛收敛发散，11nnnnuu例：判别级数的敛散性。11)0()1(npnpn解：时，1p原级数条件收敛.时，1p11111|(1)|nppnnnn11111|(1)|nppnnnn此时,原级数绝对收敛.发散，收敛，n1n111,limlim0,(1)npppnnuuunnn又11pnn发散时当收敛时当,1,1pp111(1)npnn1,1,pp当时绝对收敛当时条件收敛例：判别级数2(1)lnnnn的敛散性.解：22(1)1lnlnnnnnn11lnnn21,nn且发散21.lnnn发散111lnln(1)nnuunn又1lim0lnnn2(1).lnnnn条件收敛四、任意项级数的判别方法定理：1nnu设为任意项级数，则若,||||lim1ruunnn时，当1)1(r1nnu绝对收敛。时，当1)2(r1,nnu发散时，当1)3(r判别法失效。1nnu发散。1,nnu收敛1111nnnnnnnnuuuu发散时，可能收敛，也可能发散，但若根据比值判别法：判定发散，则发散.例：的敛散性。判别级数nnn2)1(31解：31322)1(limnnnnn3)11(21limnn211绝对收敛。nnn2)1(3||||lim1nnnuu例：113(1)!nnnnn判别级数的敛散性。解：13(1)!1lim3!nnnnnnn3e13(1)2nnn发散.||||lim1nnnuulim31nnnn3lim11nnn-11(-1).nnnxn例讨论的敛散性x-111nnnxn（－）解：111lim1nnnxnxnlim1nnxn11(1).nnnxn绝对收敛(1)0,x当时10n绝对收敛;(2)0,x当时1nnxn1,x当时11(1).nnnxn发散1,x当时1,x当时11(1)nnn原级数.条件收敛1,x当时11nn原级数.发散例判别级数)0(sin12annan的收敛性.2sinnna,112收敛而nn解,sin12nnna收敛故由定理知原级数绝对收敛.经判断该级数为任意项级数（易出错认为正项级数）,12n考虑绝对值级数21sinnnan22sin1nann,112收敛而nn21sin.nnan收敛21(1)sin2nnn1!(3)2sin5nnnnnn(1).解显然，该级数为正项级数2112(1)sin2limlimsin2nnnnnnnuun212(1)2lim2nnnnn112.所以该级数收敛221sin5(2)5nnnn(2).解显然，该级数为正项级数221sin5(2)5nnnn222sin555nnnnn21,5nnn对级数而言2112(1)5limlim5nnnnnnnunu211lim5nnn11521,5nnn级数收敛221sin5.5nnnn从而收敛1!(3)2sin5nnnnnn(3).解显然，该级数为任意项级数!!2sin25nnnnnnnnn1!2nnnnn考查正项级数111(1)!2(1)limlim!2nnnnnnnnnunnun1(1)!lim2(1)!nnnnnnn1lim21(1)nnn21e1!2,nnnnn收敛1!2sin5nnnnnn于是由比较判别法得收敛,.从而原级数绝对收敛11(1)1.ln(1nnn）132(1)3.2nnnn212(1)24.!nnnn2(1)2.lnnnnn2(1)5.(1)(1)(2)nnnnnn15142(1)6.(1)nnnn1nnu考查的敛散性比值11nnnnuu与同敛散比较或比较的极限形式34，126，，比较或比较的极限形式--一般莱布尼兹公式1nnu收敛1nnu绝对收敛1nnu发散1nnu的敛散性重新判定6lim0,nu发散5判断任意项级数敛散性的方法判断级数敛散性的步骤1.判定级数类型-----任意项级数或正项级数2.若为正项级数,采用正项级数的判别法1).比值判别法2).比较判别法的极限形式3.若为任意项级数,采用任意项级数的比值判别法.作业：pp255，12.（1）（2）（10）（13）收敛或发散绝对收敛或条件收敛或发散11(1)1.ln(1nnn）132(1)3.2nnnn212(1)24.!nnnn2(1)2.lnnnnn2(1)5.(1)(1)(2)nnnnnn15142(1)6.(1)nnnn111(1)11.ln(1ln(1nnnnn解考查））11ln(11nn）111nn且发散，11(1)ln(1nnn所以发散.）11(1)ln(1nnn