电工基础课件周绍敏10

第九章相量法第九章相量法教学重点1.了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。2.掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆定律。3.掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。教学难点1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。学时分配序号内容学时1第一节复数的概念12第二节复数的四则运算13第三节正弦量的复数表示法14第四节复数形式的欧姆定律25第五节复阻抗的连接26本章小结17本章总学时8第九章相量法第一节复数的概念第二节复数的四则运算第三节正弦量的复数表示法第四节复数形式的欧姆定律第五节复阻抗的连接本章小结第一节复数的概念一、虚数单位二、复数的表达式一、虚数单位图9-1在复平面上表示复数参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面上定义虚数单位为1j即j2=1，j3=j，j4=1。虚数单位j又叫做90旋转因子。二、复数的表达式图9-1在复平面上表示复数一个复数Z有以下四种表达式。1．直角坐标式(代数式)Z=a+jb式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图9-1所示。图9-1在复平面上表示复数2．三角函数式在图9-1中，复数Z与x轴的夹角为，因此可以写成Z=a+jb=|Z|(cosjsin)式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即22ba|Z|r叫作复数Z的辐角，从图9-1中可以看出)00(arctan)00(arctan)0(arctanbaabbaabaab，，复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。3．指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即Z=|Z|(cosjsin)=|Z|ej4．极坐标式(相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z=|Z|/以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其他三种式子。【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：(1)Z1=2；(2)Z2=j5；(3)Z3=j9；(4)Z4=10；(5)Z5=3j4；(6)Z6=8j6(7)Z7=6j8；(8)Z8=8j6。(2)Z2=j5=5/90(j代表90旋转因子，即将“5”逆时针旋90)(3)Z3=j9=9/90(j代表90旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90)(4)Z4=10=10/180或10/180(“”号代表180)(1)Z1=2=2/0解：利用关系式Z=a+jb=|Z|/，，=arctan，计算如下：22||baZab(5)Z5=3+j4=5/53.1(6)Z6=8j6=10/36.9(7)Z7=6+j8=(6j8)=(10/53.1)=10/18053.1=10/126.9(8)Z8=8j6=(8+j6)=(10/36.9)=10/180+36.9=10/143.1。解：利用关系式Z=|Z|/=|Z|(cos+jsin)=a+jb计算：【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)：(1)Z1=20/53.1；(2)Z2=10/36.9；(3)Z3=50/120；(4)Z4=8/120。(1)Z1=20/53.1=20(cos53.1+jsin53.1)=20(0.6+j0.8)=12+j16(2)Z2=10/36.9=10(cos36.9jsin36.9)=10(0.8j0.6)=8j6(3)Z3=50/120=50(cos120+jsin120)=50(0.5+j0.866)=25+j43.3(4)Z4=8/120=8(cos120jsin120)=8(0.50.866)=4j6.928第二节复数的四则运算设Z1=a+jb=|Z1|/，Z2=c+jd=|Z2|/，复数的运算规则为1．加减法Z1Z2=(ac)+j(bd)2．乘法Z1·Z2=|Z1|·|Z2|/+2121ZZZZ3．除法/nnZZ114．乘方/n【例9-3】已知Z1=8j6，Z2=3j4试求：(1)Z1Z2；(2)Z1Z2；(3)Z1·Z2；(4)Z1/Z2。解：(1)Z1+Z2=(8j6)+(3+j4)=11j2=11.18/10.3(2)Z1Z2=(8j6)(3j4)=5j10=11.18/63.4(3)Z1·Z2=(10/36.9)(5/53.1)=50/16.2(4)Z1/Z2=(10/36.9)(5/53.1)=2/90第三节正弦量的复数表示法正弦量可以用复数表示，即可用最大值相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。正弦电流i=Imsin(ti)的相量表达式为iIIjme2I/i正弦电压u=Umsin(tu)的相量表达式为uUUjme2=U/u【例9-4】把正弦量u=311sin(314t30)V，i=4.24sin(314t45)A用相量表示。解：(1)正弦电压u的有效值为U=0.7071311=220V，初相u=30，所以它的相量为U=U/u=220/30V(2)正弦电流I的有效值为I=0.70714.24=3A，初相i=45，所以它的相量为=I/i=3/45AI解:u=sin(t37)V，i=5sin(t+60)A。21202【例9-5】把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达示，设角频率均为：(1)=120/37V；(2)=5/60A。UI解：首先用复数相量表示正弦量i1、i2，即I1=3/30A=3(cos30+jsin30)=2.598j1.5AI2=4/60A=4(cos60jsin60)=2j3.464A然后作复数加法：I1+I2=4.598j1.964=5/23.1A25最后将结果还原成正弦量：i1i2=sin(t23.1)A【例9-6】已知i1=sin(t30)A，i2=4sin(t60)A。试求：i1i2。232第四节复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律二、电阻、电感和电容的复阻抗一、复数形式的欧姆定律定义复阻抗为|Z|/其中为阻抗大小，=ui为阻抗角，即电压u与电流i的相位差。则复数形式的欧姆定律为IUZIUZIZUZUI或图9-2复数形式的欧姆定律图9-2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。二、电阻、电感和电容的复阻抗1．电阻R的复阻抗ZR=R=R/0RRIRU2．电感L的复阻抗LLLLLLILIXIZUjjZL=XL/90=jXL=jL3．电容C的复阻抗C1jZC=XC/90=jXC=CCCCCCICIXIZU1jj第五节复阻抗的连接一、阻抗的串联二、阻抗的并联一、阻抗的串联图9-3阻抗串联电路如图9-3所示阻抗串联电路。n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗Z=Z1+Z2+···+Zn例如RLC串联电路可以等效一只阻抗Z，根据ZR=R，ZL=jXL，ZC=jXC，则jej)1j()j(ZXRCLRXXRZZZZCLCLR即Z=|Z|/其中电抗X=XLXC，阻抗大小为2222)(CLXXRXRZ为阻抗角，代表路端电压u与电流i的相位差，即RXiuarctan【例9-7】在RL串联电路中，已知：R=3，L=12.7mH，设外加工频电压sin(314t30)V。试求：电阻和电感上的电压瞬时值uR、uL。2220u解：等效复阻抗Z=ZR+ZL=R+jXL=R+jL=3+j4=5/53.1，其中XL=4，正弦交流电压u的相量为220/30V。电路中电流相量为U/30－53.1=44/23.1A5220ZUI电阻上的电压相量和瞬时值分别为IRUR132/23.1VV)1.23314sin(2132tuR电感上的电压相量和瞬时值分别为IXIZULLLj176/9023.1=176/66.9VV)9.66314sin(2176tuL二、阻抗的并联阻抗并联电路如图9-4所示。图9-4阻抗串联电路n只阻抗Z1、Z2、···、Zn并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即nZZZZ111121即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即ZY1导纳Y的单位为西门子(S)。于是有Y=Y1+Y2+···+Yn即几只并联导纳的等效导纳Y等于所有导纳之和。欧姆定律的相量形式为UYIIZU或【例9-8】两个复阻抗分别是Z1=(10j20)，Z2=(10j10)，并联后接在的交流电源上，试求：电路中的总电流I和它的瞬时值表达式i。V)sin(2220tu解：由Z1=(10+j20)可得4.631020arctanΩ36.22Ω20101221，Z由Z2=(10j10)可得451010arctanΩ14.14Ω10102222，Z即Z1=10+j20=22.36/63.4，Z2=10j10=14.14/45由21111ZZZ可得并联后的等效复阻抗为2.814.146.2636.224.1817.316)10j10()20j10()4514.14()4.6336.22(2121ZZZZZ于是总电流的相量A2.86.15A2.814.140220ZUI即I=15.6A。总电流瞬时值表达式为A)28sin(2615.t.i本章小结本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。一、复数及其运算法则二、正弦量的复数表示法三、欧姆定律与复阻抗一、复数及其运算法则1．复数的表达式(1)直角坐标式(代数式)：Z=a+jb(2)三角函数式：)0(arctan)jsin(cos22aabbaZZZ，，(3)指数式：Z=|Z|ej(4)极坐标式(相量式)：Z=|Z|/2．复数的运算法则设Z1=a+jb=|Z1|/，Z2=c+jd=|Z1|/(1)加减法：Z1Z2=(ac)j(bd)(2)乘法：Z1·Z2=|Z1|/·|Z2|/=|Z1|·|Z2|/2121ZZZZ(3)除法：/nnZZ11(4)乘方：/n二、正弦量的复数表示法正弦交流电流i=Imsin(ti)的相量表达式为II/i正弦交流电压u=Umsin(tu)的相量表达式为UU/u三、欧姆定律与复阻抗1．复数形式的欧姆定律IZUZUI或2．电阻R的复阻抗ZR=R=R/03．电感L的复阻抗ZL=XL/90=jXL=jL4．电容C的复阻抗CCj11jZC=XC/90=jXC=5．阻抗的串联n个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗Z=Z1+Z2+···+Zn6．阻抗的并联n只阻抗Z1、Z2、···、Zn并联可以等效为一只复阻抗ZnZZZZ111121定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即ZY1于是Y=Y1+Y2+···+Yn