辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积

辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是.这样，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=.『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式为：S=.『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=360nπR2化为S=180Rn·21R，从面可得扇形面积的另一计算公式：S=.二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念：的线段SA、SA1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于，扇形弧长等于．3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，S圆锥侧=S扇形=21·2πr·l=πrl4．圆锥全面积计算公式S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面=πrl＋πr2=πr（l＋r）三、例题讲解：例1、（2011?德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为．例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．CDEFO（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为：（）A．10πB．C．πD．πyx－3O123123－3－2－1－1－2－4－5－6ABCOD第2题图2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了：（）A．2周B．3周C．4周D．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）．A．3π2B．32π3C．32π2D．322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8，则这个圆锥的底面圆的半径是．7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为cm2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是.（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是.ABDCO图2ABC第1题图第9题第11题10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90o，∠A=30o，若△RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011?丹东，14，3分）如图，将半径为3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则（1）BD的长是；（5分）（2）求阴影部分的面积.（5分）13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.OABCDEABCl…………图6第12题图AOBDC14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径=（结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。专题：计算题。分析：先计算出底面圆的周长，它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，而母线长为扇形的半径，然后根据扇形的面积公式计算即可．解答：解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，∴圆锥的侧面积=12×2π×2=2π．故答案为：2π．点评：本题考查了圆锥的侧面积公式：S=12lr．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．例2、考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：几何图形问题．ABCO分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠DBC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；（2）根据S阴影=S扇形AOD－S△AOD即可求解．解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴==，∠BCD=60°∴AB=AD=DC，∠DBC=90°又在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．∴BC+32BC=15∴BC=6∴此圆的半径为3．（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA?cos30°=332S△AOD=12×3×332=934．∴2AODAOD6039S-S-33604S阴影扇形396-93-3=244点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．例3、考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算分析：（1）根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2；（2）首先根据题意求得扇形BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧错误！未找到引用源。与弦AB围成的图形的面积．解答：解：（1）如图：∴⊙P与⊙P1的位置关系是外切；（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，∴S扇形BP1A=2902360=π，S△AP1B=×2×2=2，∴劣弧与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．点评：此题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的求解方法．题目难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．四、1、【解析】△ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，根据弧长公式180rnl，可求路径长为【答案】C【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理（求AC），图形的旋转，弧长公式180rnl。中等难度的题型。2、【解析】三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360°。所以⊙O自转了4圈。【答案】C【点评】本题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。3、【解析】图中阴影部分的面积等于：三角形AOB面积－扇形AOB面积，不难知道，?AOB为等边三角形，可求出?AOB边AB上的高是3，扇形AOB圆心角∠O＝60°，半径OA＝3，从而阴影部分的面积是12×2×3－260(3)360＝3π2，故选A．【答案】A【点评】本题着重考查了扇形面积的计算及解直角三角形的知识，以及转化、数形结合思想，有一定综合性，难度中等．4、【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE＝3，而∠COB＝2∠CDB＝60°，所以OC＝sin60CE＝2，OE＝12OC＝1，接下来发现OE＝BE，可证△OCE≌△BED，所以S阴影＝S扇形COB＝16π·22＝2π3．【答案】D【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结ABDCO图2E合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．5、【分析】S侧=πrl=π·210×10=50π.【解答】50π【点评】圆锥的侧面积S侧=21·2πr·l=πrl（其中r是圆锥底面圆的半径，l是母线的长）.6、【解析】本题考查圆锥展开图及侧面积计算公式.设半径为r，圆锥侧面积即展开图扇形的面积，根据S扇=21lR,即8π=21×2π×4，得r=2.【答案】2【点评】在解决圆锥的计算问题时，要把握好两个相等关系：圆锥侧面展开图（扇形）的半径R等于圆锥的母线长，扇形的弧长l等于圆锥的底面周长2r．几乎所有圆锥计算问题都是从这两个对应关系入手解决的．7、【解析】根据圆锥的侧面积公式=πrl计算，此圆锥的侧面积=π×2×5=10π【答案】10π【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．8、解析：圆锥的侧面积可由公式来求，这里R=6，l=8π，因此S=24π。答案：24π点评：本题考查了圆锥的侧面展开及其侧面积的求法，初步考查学生的空间观点，注意本题不要与全面积相混淆。9、分析：首先连接OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC的度数，又由圆周角定理求得∠NMB的度数．解答：解：连接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC，∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°，∴cos∠BOC=21OBOC，∴∠BOC=60°，∴∠NMB=21∠BOC=30°．故答案为：30°．点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10、思路导引：确定路线长度，由于路线是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键，3＋3；解析：计算斜边长度是2，第一次经过路线长度是1202180，第二次经过路线长度是9031202180180，第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是9031202180180，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是1202180＋2×（9031202180180）=43＋3＋2×43=3＋3点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计