单元模型构造-局部系法.

单元模型构造常用单元模型构造—局部坐标系法采用局部坐标系法求单元的形函数一般需要如下过程：1）在单元上假设一种局部坐标系，确定局部坐标系的度量，并在单元节点上标出局部坐标值；2）根据插值多项式选择条件假设形函数多项式；3）利用单元形函数的特性（正交性）求单元的形函数。单元局部坐标系是一种与单元形状相关的无因次坐标，也叫自然坐标系。单元模型构造1）一维单元①长度坐标如图所示为在一维单元上假设的一种自然坐标系。ox为一维整体坐标系，x1和x2是单元节点1和节点2在整体坐标系下的坐标值，l是单元长度。单元上任意一点P到1节点的距离是l2，到2节点的距离是l1，假设单元的自然坐标为L1和L2。oxx1x21(1,0)2(0,1)xP(L1,L2)ll1l2单元模型构造定义一维单元的自然坐标L1和L2分别为121212lxxLlllxxLll自然坐标L1和L2是用单元长度l、l1和l2定义的，因此它们也叫长度坐标。单元模型构造长度L1和L2不是相互独立的，它们存在如下关系12121llLLll比较上式和L1、L2的表达式很容易发现，一维2节点线单元的形函数可以表示为1122NLNL由于2112()xxxxuxuull单元模型构造单元内任意一点P的坐标x可以用x1和x2表示为1122xxLxL结合上式和式1122111LxxLx或12211111LxLxxl12121llLLll可得自然坐标系与整体坐标系之间的变换关系单元模型构造②一维二次单元建立长度坐标系的目的是为了求一维高阶单元的形函数。下面利用长度求一维3节点单元的形函数。如图所示，一维3节点单元，节点3位于1、2节点的中间，图中己经标出了每个节点的长度坐标。ox12(0.5,0.5)3(1,0)(0,1)单元模型构造根据插值多项式与形函数之间的线性组合关系，一维3节点单元的形函数多项式可以假设为1122312(1,2,3)iiiiNLLLLi根据Ni的正交性，N1在1节点处的值等于1，在2、3节点处的值等于0，即12121211,000,100.5,0.5LLNLLLL1当时当时当时单元模型构造由这3个条件得到方程组1112111123100.50.50.2501111231,0,2单元模型构造于是可以得到形函数N111122NLLL同理可得22122NLLL3124NLL这样，就得到了一维3节点单元的形函数。计算过程表明，采用长度坐标系求2次单元形函数比整体坐标系法要简单得多，而且采用这种方法还可以求更高阶单元的形函数。单元模型构造由于长度坐标Li本身就含有常数项和一次项，因此式完全满足插值多项式选择条件要求。又由于长度坐标L1和L2不是相互独立的，形函数多项式的假设就会出现多种形式，只要它们满足插值多项式选择条件要求即可。例如1122312(1,2,3)iiiiNLLLLi2112231(1,2,3)iiiiNLLLi212231(1,2,3)iiiiNLLi等形式都可以。实际计算过程中要考虑求解的繁易程度。单元模型构造③一维三次单元如图所示，一维4节点单元，各节点长度坐标如图所示。一维4节点单元的形函数形式假设为21122312412iiiiiNLLLLLLox12(2/3,1/3)3(1,0)(0,1)4(1/3,2/3)单元模型构造根据形函数Ni的正交性，可分别求得单元的形函数111221213121412191291291322913NLLLNLLLNLLLNLLL单元模型构造④正规自然坐标实际上对于一维单元来说，求单元的形函数时，最常用的是采用正规自然坐标。正规自然坐标系是一种正规化的曲线坐标系，如图所示。坐标系原点位于单元形心P点处，坐标轴r与单元重合并指向2节点，坐标系的度量假设为P点为0，2节点为1，1节点为-1。ox120P-11r单元模型构造⑤一维2节点单元根据插值多项式与形函数之间的线性组合，一维2节点单元的形函数多项式可以假设为01iNr根据Ni的正交性，N1在1节点处的值等于1，在2节点处的值等于0，即11101rNr当时当时单元模型构造结合上两式，可得011122代入到形函数的表达式，可得11(1)2Nr同理可得2112Nr单元模型构造⑥一维3节点单元如图所示，一维3节点单元及其正规自然坐标系，上面已经标出了每个节点正规自然坐标值。一维3节点单元的形函数Ni的形式假设为2012iNrrox1203-11r单元模型构造采用这种方法同样可求更高阶单元的形函数。12231(1)211(1)2NrrNrNrr根据Ni的正交性可求得单元的形函数分别为单元模型构造2）二维单元①面积坐标如图所示，在二维三角形单元上采用单元面积建立了一种自然坐标系，也叫面积坐标系。oxy为二维整体坐标系，(xi,yi)为节点i的整体坐标系的坐标值，单元内任意一点P将三角形单元分为3部分，面积分别为A1、A2、A3，假设三角形单元的面积坐标分别为L1、L2和L3。xyo123(x1,y1)(1,0,0)(x2,y2)(0,1,0)(x3,y3)(0,0,1)PA1A2A3(x,y)(L1,L2,L3)单元模型构造定义面积坐标L1、L2和L3分别为1,2,3iiALiA式中，A为三角形单元面积。面积坐标L1、L2和L3之间不是相互独立的，它们存在如下关系3121231AAALLLAAA单元模型构造1,2,3iiNLi面积坐标系与整体坐标系之间的转换关系为1123212331111LxxxxLyyyyL或者123322332231133113312211221112LxyxyyyxxLxyxyyyxxxALxyxyyyxxy式经过验证，面积坐标L1、L2和L3恰好是二维3节点三角形单元的形函数，即(1,2,3)iiLAAi单元模型构造②二维6节点三角形单元采用整体坐标系方法很难求得二维6节点三角形单元的形函数。定义了面积坐标后，这个问题就变得很容易了。如图所示为二维6节点三角形单元，图中已经标出了每个节点的面积坐标。xyo123(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(0.5,0,0.5)65(0,0.5,0.5)4(0.5,0.5,0)单元模型构造二维6节点三角形单元的形函数多项式可以假设为112233412523613(1,2,3,4,5,6)iiiiiiiNLLLLLLLLLi根据Ni的正交性，N1在1节点处的值等于1，在其他节点处的值等于0，即123123123112312312311,0,000,1,000,0,100.5,0.5,000,0.5,0.500.5,0,0.5LLLLLLLLLNLLLLLLLLL当时当时当时当时当时当时单元模型构造可求得二维6节点三角形单元的形函数分别为412523631211,2,3444iiiNLLiNLLNLLNLL单元模型构造③二维10节点三角形单元如图所示为二维10节点三角形单元，图中已经标出了每个节点的面积坐标。xyo12(1,0,0)(0,1,0)3(0,0,1)(2/3,0,1/3)96(0,2/3,1/3)4(2/3,1/3,0)5(1/3,2/3,0)7(0,1/3,2/3)(1/3,0,2/3)8(1/3,1/3,1/3)10单元模型构造二维10节点单元的形函数多项式可以假设为11223341252361322271282391310123(1,2,,10)iiiiiiiiiiiNLLLLLLLLLLLLLLLLLLi根据Ni的正交性，可求得二维10节点三角形单元的形函数为41215122623272338133913110123131321,2,3293129312931293129312931227iiiiNLLLiNLLLNLLLNLLLNLLLNLLLNLLLNLLL单元模型构造④二维4节点四边形单元面积坐标是针对三角形单元假设的，它不适合四边形单元。四边形单元一般采用正规自然坐标系，类似于一维单元的正规自然坐标系。1s1r如图所示，取任意四边形的对边中点连线，分别作为r轴和s轴，两轴的交点P作为坐标系的原点。坐标系度量定义为：原点P点的坐标是(0,0)，四边形两对对边分别取和，这样就建立了四边形单元的一种正规自然坐标系。四边形的4个节点的自然坐标依次为(1,1)、(-1,1)、(-1,-1)、(1,-1)。oxy1(1,1)2(-1,1)3(-1,-1)4(1,-1)P(0,0)rs单元模型构造二维4节点四边形单元的形函数多项式假设为0123iNrsrs根据Ni的正交性，可以求得4节点四边形单元的形函数分别为1111,2,3,44iiiNrrssi单元模型构造⑤二维8节点四边形单元如图所示为二维8节点四边形单元，正规自然坐标系的建立与4节点单元类似。由于单元的四个边可以是曲线，所以正规自然坐标系是一个曲线坐标系。单元节点的自然坐标已经在图中标出。oxy1(1,1)2(-1,1)3(-1,-1)4(1,-1)P(0,0)rs5(0,1)6(-1,0)7(0,-1)8(1,0)二维8节点四边形单元的形函数多项式假设为201234222567iNrsrsrsrsrs根据Ni的正交性，可以求得8节点四边形单元的形函数分别为25526627728811111,2,3,441112111211121112iiiiiNrrssrrssiNrssNrrsNrssNrrs单元模型构造单元模型构造⑥二维12节点四边形单元如图所示为二维12节点四边形单元，正规自然坐标系的建立与8节点单元相同。单元节点的自然坐标已经在图中标出。oxy1(1,1)(-1,1)23(-1,-1)4(1,-1)P(0,0)rs5(1/3,1)8(-1,-1/3)9(-1/3,-1)(-1/3,1)67(-1,1/3)10(1/3,-1)11(1,-1/3)12(1,1/3)单元模型构造二维12节点四边形单元的形函数多项式假设为2220123456233337891011iNrsrsrsrsrsrsrsrs根据Ni的正交性，可以求得12节点四边形单元的形函数分别为222211199101,2,3,432911195,6,9,1032911197,8,11,1232iiiiiiiiiNrrssrsiNssrrriNrrsssi单元模型构造3）三维单元①体积坐标如图所示，三维四面体单元内任意一点P，则点243P围成的体积为V1，点134P围成的体积为V2，点142P围成的体积为V3，点123P围成的体积为V4。1(x1,y1,z1)(1,0,0,0)2(x2,y2,z2)(0,1,0,0)3(x3,y3,z3)(0,0,1,0)4(x4,y4,z4)(0,0,0,1)P(x,y,z)(L1,L2,L3,L4)oxyz单元模型构造定义单元的体积坐标L1、L2、L3和L4分别为1,2,3,4iiVLiV式中，V为四面体单元的