数列求和裂项相消专题

数列求和—裂项相消专题裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的.常见的裂项相消形式有：1.111(1)1nannnn1111()(2)22nannnn┈┈1111()()nannkknnk2npaAnBnC（分母可分解为n的系数相同的两个因式）2.1111()(21)(21)22121nannnn1111()(21)(23)22123nannnn1111()(65)(61)66561nannnn3.1111(1)(2)2(1)(1)(2)nannnnnnn4.111211(21)(21)2121nnnnnna+1+1211(21)(21)2121nnnnnna122(1)111(1)2(1)22(1)2nnnnnnnnannnnnn5.111nnnn┈┈11(2)22nnnn11()nknknnk1.在数列na中，11211nnnnan，且12nnnaab，求数列nb的前n项的和.2.已知数列na是首相为1，公差为1的等差数列，21nnnbaa，nS为nb的前n项和，证明：1334nS.3.等比数列na各项均为正数，且212326231,9aaaaa，（1）求na的通项公式；（2）设31323logloglognnbaaa，求1nb的前n项和.4.设数列na满足01a且111111nnaa，（1）求na的通项公式；（2）设nabnn11，记nkknbS1，证明：1nS.5.（安徽江南十校2015联考）已知各项为正数的数列na满足:22124()nnnnnaaaaanN,且121,4aa,（1）证明：数列na是等差数列;（2）设121nnnnbaa，nb的前n项和为nS，求证：1nS.6.已知等差数列na的前n项和为nS，公差,64,035aSd且931,,aaa成等比数列，（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nS1的前n项和nT.7.等差数列na中，21,61131aaa，（1）求数列na的通项公式；（2）设)3(1nnanb，求nnbbbS21.8.(2010山东)已知等差数列na满足：3577,26,naaaa的前n项和为nS，（1）求na及nS；（2）令21()1nnbnNa，求数列nb的前n项和nT.9.（2013全国1）已知等差数列na的前n项和为nS，满足350,5SS，（1）求na的通项公式；（2）求数列21211nnaa的前n项和.10.(2013江西)正项数列na满足：2(21)20nnanan，（1）求na的通项公式；（2）令1(1)nnbna，求数列nb的前n项和nT.11.(2017全国3)设数列na满足123(21)2naanan，（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan的前n项和.12.（2015安徽）已知数列na是递增的等比数列，且14239,8aaaa，（1）求na的通项公式；（2）设nS为数列na的前n项和，11nnnnabSS，求数列nb的前n项和.13.（2014贵州适应性训练）已知数列na是等差数列，12342,,,1aaaa成等比数列，（1）求na的通项公式；（2）设2(2)nnbna，求数列nb的前n项和nS.14.（2013大连育明高中模拟）已知数列na是各项均不为0的等差数列，公差为d，nS为其前n项和，且满足221()nnaSnN，数列nb满足111nnnbaa，nT为数列nb的前n项和，（1）求1,ad和nT；（2）是否存在实数，使对任意的()nN，不等式8nTn恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.15.nS为数列na的前n项和，已知20,243nnnnaaaS，（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa，求数列nb的前n项和.16.已知等比数列na的公比1q，1a和4a的等比中项为33，2a和3a的等差中项为6，数列nb满足543log(3)()nnnbanN，（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设13,nnnncTbb是数列nc的前n项和，求使的20nmT对所有nN恒成立的最小整数m的值.