大学物理上复习资料

内容提要位矢：ktzjtyitxtrr)()()()(位移：kzjyixtrttrr)()(一般情况，rr速度：kzjyixkdtdzjdtdyidtdxdtrdtrt0lim加速度：kzjyixkdtzdjdtydidtxddtrddtdtat222222220lim圆周运动角速度：dtd角加速度：22dtddtd（或用表示角加速度）线加速度：tnaaa法向加速度：22RRan指向圆心切向加速度：Rdtdat沿切线方向线速率：R弧长：Rs内容提要动量：mp冲量：21ttdtFI动量定理：21ttdtFpd210ttdtFpp动量守恒定律：若0iiFF，则常矢量iipp力矩：FrM质点的角动量（动量矩）：rmprL角动量定理：dtLdM外力角动量守恒定律：若0外力外力MM，则常矢量iiLL功：rdFdWBAABrdFW一般地BABABAzzzyyyxxxABdzFdyFdxFW动能：221mEk动能定理：质点，222121ABABmmW质点系，0kkEEWW内力外力保守力：做功与路程无关的力。保守内力的功：pppEEEW)(12保守内力功能原理：pkEEWW非保守内力外力机械能守恒：若0非保守内力外力WW，则00pkpkEEEE内容提要转动惯量：离散系统，2iirmJ连续系统，dmrJ2平行轴定理：2mdJJC刚体定轴转动的角动量：JL刚体定轴转动的转动定律：dtdLJM刚体定轴转动的角动量定理：021LLMdttt力矩的功：MdW力矩的功率：MdtdWP转动动能：221JEk刚体定轴转动的动能定理：20221210JJMd内容提要库仑定律：rerqqF221041电场强度：0qFE带电体的场强：riierdqEE204静电场的高斯定理：iSqSdE01静电场的环路定理：LldE0电势：ppldEV带电体的电势：rdqVVi04导体静电平衡：电场，○1导体内场强处处为零；○2导体表面处场强垂直表面电势，○1导体是等势体；○2导体表面是等势面电介质中的高斯定理：iSqSdD各向同性电介质：EEDr0电容：UQC电容器的能量：22212121CUQUCQW内容提要毕奥-萨伐尔定律：204relIdBdr磁场高斯定理：SSdB0安培环路定理：iIldB0载流长直导线的磁场：)cos(cos4210rIB无限长直导线的磁场：rIB20载流长直螺线管的磁场：)cos(cos2210nIB无限长直螺线管的磁场：nIB0洛仑兹力：BqF安培力：BlIdFd磁介质中的高斯定理：SSdB0磁介质中的环路定理：iLIldH各向同性磁介质：HHBr0内容提要法拉第电磁感应定律：dtd动生电动势：ldB)(感生电动势：SkSddtBldE自感：LI，dtdILL自感磁能：221LIWm互感：12MI，dtdIM12磁能密度：BHHBwm21212122题7.4：若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上。求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为22041LrQE（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为220421LrrQE若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。题7.4分析：这是计算连续分布电荷的电场强度。此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为dq=Qdx/L，它在点P的电场强度为rrqeE20d41d整个带电体在点P的电场强度EEd接着针对具体问题来处理这个矢量积分。（1）若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，LiEEd（2）若点P在棒的垂直平分线上，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是LLjjEEEdsindy证：（1）延长线上一点P的电场强度LrqE204d，利用几何关系xrr统一积分变量，则2200222-041212141)(d41LrQLrLrLxrLxQELLP电场强度的方向沿x轴。（3）根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为LrqE204dsin利用几何关系22,sinxrrrr统一积分变量，则220232222-0412)(d41rLrQrxLxrQELL当棒长L时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P点电场强度rLrLQrEL022024121lim此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这说明只要满足122Lr，带电长直细棒可视为无限长带电直线。题7.5：一半径为R的半圆细环上均匀分布电荷Q，求环心处的电场强度题7.5分析：在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元dl，其电荷此电荷元可视为点电荷lRQqdd，它在点O的电场强度r20d41deErq。因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有LE0dx，点O的合电场强度jELEyd，统一积分变量可求得E。解：由上述分析，点O的电场强度lRQRELdsin4120O由几何关系ddRl，统一积分变量后，有20200O2dsin41RQE方向沿y轴负方向。题7.6：用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为02E（提示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加）题7.6分析：求点P的电场强度可采用两种方法处理，将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为yrrqddd2d或求出它们在轴线上一点P的电场强度dE后，再叠加积分，即可求得点P的电场强度了。证1：如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由于带电平面上同心圆环在点P激发的电场强度dE的方向均相同，因而P处的电场强度iiiEE023220232202)(4d2)(d41dxrrxrxrqx电场强度E的方向为带电平板外法线方向。证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在点P激发的电场强度dE在Oxy平面内且对x轴对称，因此，电场在y轴和z轴方向上的分量之和，即Ey、Ez均为零，则点P的电场强度应为iiiE220xd2cosdxyyxEE积分得iE02电场强度E的方向为带电平板外法线方向。上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。题7.10：设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。解：作半径为R的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理01d0qSSE这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量。因而SSΦSESEdd依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，ERREΦ22cos题7.13：设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为RrRrkr00k为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。解：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律VSd1d0SE得球体内)0(Rr400202d414)(rkrrkrrrErrkrreE024)(球体外（r＞R）400202d414)(RkrrkrrrERrrkRreE2044)(题7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。题7.14分析：用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。解：在带电平面附近n012eEne为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场n220212eErxx它们的合电场强度为n220212eEEErxx。在圆孔中心处x=0，则E=0在距离圆孔较远时xr，则n0n2202112eeExr上述结果表明，在xr时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。题7.15：一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度。题7.15分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴往面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，0dSE对电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为rLE2dSE由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度2R，处于高斯面内的总电荷Lrq2由高斯定理0dqSE可解得电场强度的分布，解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得LrRLrrLE2202012202RrE题7.16：一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。题7.16分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而24drESE，在确定高斯面内的电荷q后，利用高斯定理0dqSE即可求的电场强度的分布解：取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析024qrErR1，该高斯面内无电荷，0q，故E1=0R1rR2，高斯面内电荷31323131)(RRRrQq，故23132031312)(4)(rRRRrQER2rR3，高斯面内电荷为Q1，故20134rQErR3，高斯面内电荷为Q1+Q2，故202144rQQE电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图所示。在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r=R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量0302344RQEEE这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如