(整理)函数的连续性及其应用

--------------------------函数的连续性及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f(x)=)51()1(log)11()1()1(32xxxxxx(1)讨论f(x)在点x=－1,0,1处的连续性；(2)求f(x)的连续区间.●案例探究［例1］已知函数f(x)=242xx,(1)求f(x)的定义域，并作出函数的图象；(2)求f(x)的不连续点x0;(3)对f(x)补充定义，使其是R上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x+2≠0时，有x≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x≠－2时，f(x)=242xx=x－2,其图象如上图(2)由定义域知，函数f(x)的不连续点是x0=－2.(3)因为当x≠－2时，f(x)=x－2,所以)2(lim)(lim22xxfxx=－4.--------------------------因此，将f(x)的表达式改写为f(x)=2)(4)2(242xxxx则函数f(x)在R上是连续函数.［例2］求证：方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一个正根，且它不大于a+b.命题意图：要判定方程f(x)=0是否有实根.即判定对应的连续函数y=f(x)的图象是否与x轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f(x)=asinx+b－x,则f(0)=b＞0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0,又f(x)在(0,a+b］内是连续函数，所以存在一个x0∈(0,a+b］，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a·sinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不大于a+b.●锦囊妙计1.深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念：等式lim0xxf(x)=f(x0)的涵义是：(1)f(x0)在x=x0处有定义，即f(x0)存在；(2)lim0xxf(x)存在，这里隐含着f(x)在点x=x0附近有定义；(3)f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值，即lim0xxf(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续，反映在图象上是f(x)的图象在点x=x0处是不间断的.2.函数f(x)在点x0不连续，就是f(x)的图象在点x=x0处是间断的.其情形：(1)lim0xxf(x)存在；f(x0)存在，但lim0xxf(x)≠f(x0);(2)lim0xxf(x)存在，但f(x0)不存在.(3)lim0xxf(x)不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f(x)在其定义区间内是连续的，点x0是定义区间内的一点，那么求x→x0时函数f(x)的极限，只要求出f(x)在点x0处的函数值f(x0)就可以了，即lim0xxf(x)=f(x0).●歼灭难点训练一、选择题--------------------------1.(★★★★)若f(x)=11113xx在点x=0处连续，则f(0)等于()A.23B.32C.1D.02.(★★★★)设f(x)=21112110xxxx则f(x)的连续区间为()A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2)二、填空题3.(★★★★)xxxxarctan4)2ln(lim21=_________.4.(★★★★)若f(x)=0011xbxaxxx处处连续，则a的值为_________.三、解答题5.(★★★★★)已知函数f(x)=)0(1)0(121211xxxx(1)f(x)在x=0处是否连续？说明理由；(2)讨论f(x)在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f(x)=)0()0(11xbxaxxx(1)求f(－x);(2)求常数a的值，使f(x)在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3∈R,a0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f(x)=)1()21(log)1(2xxxx的不连续点和连续区间.参考答案--------------------------难点磁场解：(1)lim1xf(x)=3,lim1xf(x)=－1,所以lim1xf(x)不存在，所以f(x)在x=－1处不连续，但lim1xf(x)=f(－1)=－1,lim1xf(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1处右连续，左不连续lim1xf(x)=3=f(1),lim1xf(x)不存在，所以lim1xf(x)不存在，所以f(x)在x=1不连续，但左连续，右不连续.又lim0xf(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续.(2)f(x)中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f(x)除不连续点x=±1外，再也无不连续点，所以f(x)的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332xxxxxxxxxf2311111)0(1111)1(323fxxx答案：A2.解析：11lim)(lim11xxxf21)1(1)(lim,1lim)(lim111fxfxxfxxx即f(x)在x=1点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续.答案：C二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim00xfxfxx,11arctan4)12sin(11arctan4)2sin(lim221xxx答案：121,0)(lim)(lim21111lim11lim)(lim:.400000abxaxfxxxxfxxxxx解析答案：21--------------------------三、5.解：f(x)=)0(1)0(12111xxx(1)lim10xf(x)=－1,lim0xf(x)=1,所以lim0xf(x)不存在，故f(x)在x=0处不连续.(2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再无间断点，由(1)知f(x)在x=0处右连续，所以f(x)在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f(－x)=)0()0(11xbxaxxx(2)要使f(x)在(－∞,+∞)内处处连续，只要f(x)在x=0连续，lim0xf(x)=lim0xxx11=21111lim)11(lim00xxxxxxlim0xf(x)=lim0x(a+bx)=a,因为要f(x)在x=0处连续，只要lim0xf(x)=lim0xf(x)=lim0xf(x)=f(0),所以a=217.证明：设f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函数f(x)在(－∞,+∞)连续，且x→+∞时，f(x)→+∞;x→－∞时，f(x)→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0,所以f(x)的图象至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根.8.解：不连续点是x=1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)----------------------------------------------------选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最强有力的选校工具！产品介绍：1.大学搜索：介绍近2000所高校最详细的大学信息，包括招生简章，以及考生最需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等.2.高校专业搜索：这里包含了中国1517个专业介绍，考生查询专业一目了然，同时包含了专业就业信息，给考生报考以就业参考。3.图片搜索：这里有11万张全国高校清晰图片，考生查询学校环境、校园风景可以一览无余。4视频搜索：视频搜索包含了6162个视频信息，大学视频、城市视频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。5.问答：对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里，你会得到详尽解答。6新闻：高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长量身定做，和同类新闻网站相比更有针对性。7.千校榜：把高校分成各类，让考生选校时根据类别加以区分，根据排名选择自己喜欢的高校。8选校课堂：这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为核心，让专家为您解答高考选校的经验和技巧。9.阳光大厅：考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放，阳光大厅给家长以心灵启示，给考生心里以阳光。10.港澳直通：很多考生都梦想去香港澳门读大学，港澳直通，给考生的梦想一个放飞的地方，港澳直通囊括了港澳大学的所有信息，将一切更直观的呈现给考生。11.选校社区：注册您真是的信息，在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息，读到好的选校文章也可以拿到这里，让大家共同品尝，您还可以加入到不同的大学、专业、城市群组，和大家一起讨论这些话题分享信息。选校网，为你整合众多高考选校信息，只为考生、家长能够从中受益。让我们共同为考生的未来，努力！--------------------------我们在不断完善，以更加符合家长和同学们的需求。陆续我们将推出城市印象频道，让大家了解学校所在城市的详细情况；预报名系统(yubaoming.com)，为您更加准确地根据高考分数填报志愿提供利器.......一切，贵在真实。