巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。绝对值的代数意义：｜a｜=a,(a≥0)；｜a｜=－a,(a＜0)。绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a,b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜，由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜，由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。一般说来，设f(x)=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-an｜，其中a₁≤a₂≤…≤an，那么：当n为偶数时，fmin(x)=f(a)，其中an/2≤a≤an/2+1；且f(a)=(an-a1)+(an-1-a2)+•••+(an/2+1-an/2)=(an+an-1+•••an/2+1)-(a1+a2+•••+an/2)当n为奇数时，fmin(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(an-a1)+(an-1-a2)+•••+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】=【an+an-1+•••a(n+1）/2+1】-【a1+a2+•••+a(n+1）/2-1】也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。利用这个原理来解决【例1】的问题将非常容易地得到结论：y=｜x-（-3）｜+｜x-（-2）｜+｜x-（-1）｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜，所以x=0时y最小，最小值为12。下面我们利用这一原理解决更多的问题。【例2】已知y=⅔｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜，求y的最小值。【解】y=⅓(2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜)=⅓（｜x-（-1）｜+｜x-（-1）｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜）∵有11个绝对值相加，11为奇数，∴当x=a5，即x=1时，y最小为：⅓(2｜1+1｜+3｜1-2｜)=⅓（4+3）=7/3【例3】已知｜a+3｜+｜a-5｜=8，求a的取值范围。【解】∵当-3≤a≤5时，｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8，∴a的取值范围是-3≤a≤5【例4】已知2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜=9，求ab的值。【解】∵2｜a+1｜+｜a-2｜=｜a+1｜+｜a+1｜+｜a-2｜，当a=-1时，最小值为3；｜b+1｜+4｜b-5｜=｜b+1｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜，当b=5时，最小值为6，∴2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜≥9，只有当a=-1，b=5时，原式=9，∴ab=（-1）5=-1【例5】如图4，一条公路旁有6个村庄，分别为A，B，C，D，E，F，现在政府要在公路边建一个公交站，请问建在哪一段比较合理？【分析】所建公交站应该到各村的距离之和最小，以公路为数轴，设A，B，C，D，E，F在数轴上表示的数分别为：a,a,c,d,e,f，则a≤a≤c≤d≤e≤f，故当所建公交站到各村的距离之和最小时，公交站应该处于C村和D村之间。