用绝对值的几何意义来解题

用绝对值的几何意义解题防城港市高级中学数学组李铮在数轴上，表示原点到a的距离表示数轴上某一个点到a的距离axa-xa表示数轴上某一个点到-a的距离a-0）（a--x例1方程|x－3|＝4的解为．一、解绝对值方程4437-1几何意义：数轴上到3的距离等于4的点-1或7方程|ax-b|=c怎么办？221.53.5-0.5几何意义：数轴上到1.5的距离等于2的点-0.5或3.5练习：方程|2x－3|＝4的解为．|2x－3|＝4423-x2223-x练习：方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为．表示数轴上到1和-2的距离之和等于4的点-213-2.521.5-2.5或1.5二、求代数式的最值例2、求|x－2007|+|x－2008|的最小值是解：由绝对值的几何意义知，|x－2007|+|x－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包括这两个端点）取值，故|x－2007|+|x－2008|的最小值为1.200720081练习：|x－2|－|x－5|的最大值是，最小值是．解：把数轴上表示x的点记为P．由绝对值的几何意义知，|x－2|－|x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）．25-3-3~333-36789、、、三、解不等式例3、不等式|x|1的解集不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.∴不等式|x|1的解集为{x|-1x1}0-11关键：先找到等于的点，再分析例4不等式|x-3|4的解是．例5不等式|x-3|4的解是．447-13-1x7x7或x-1关键：找到什么时候等于，然后“大于在两边，小于在中间”不等式|ax-b|c和|ax-b|c是否也适用？方法一:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值解不等式|x-1|+|x+2|≥5(1)2x当时,解:2(1)(2)5xxx原不等式23.3xxx(2)21x当时,21(1)(2)5xxx原不等式21.35xx(3)1x当时,1(1)(2)5xxx原不等式122xxx这种解法体现了分类讨论的思想∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法二：通过构造函数，利用函数的图象求解．|1||2|50,xx原不等式化为解:解不等式|x-1|+|x+2|≥526,2221241xxyxxx即，，，化简得构造函数5-2x1-xy12x1-x122xx-122x-x-1yxxx），（）（），（）（），（）（-312-2-2xy这种方法体现了函数与方程的思想．如图,作出函数的图象,26,2221241xxyxxx，，320,xxy由图象可知,当或时,函数的零点是-3,2.∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.05-2x1-xy取例题：解不等式|x-1|+|x+2|≥5解得x≥2或x≤-11-2321-11表示数轴上到1的距离加上到2的距离大于等于5的点练习：不等式|x＋2|+|x－3|7的解是．3-25分析：不等式表示数轴上到-2的距离加上到3的距离大于7的点。显然-2到3的距离就是5了，所以这些点在-2到3之间和之外都有。现在找到距离之和等于7的点，再分析。41-11-1x4作业用绝对值的几何意义解下面的题1.解不等式1|2x+1|3.2.解不等式|x+3|+|x-3|8.