最全面的解三角形讲义

1解三角形【高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础梳理1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．面积公式：S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．26．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．考向探究题型一正弦余弦定理运用【例题1】在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.【例题2】在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.【例题3】（14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；3（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cbCa)30sin(的值.【变式】1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a=.2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为.4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA=.6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为.7.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.题型二判断三角形形状【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.4【变式】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.题型三测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．5题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【变式】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．6巩固训练1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是三角形.2.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsinsin的值为.3.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC=41（b2+c2-a2），则A=.4.在△ABC中，BC=2，B=3，若△ABC的面积为23，则tanC为.5.在△ABC中，a2-c2+b2=ab,则C=.6.△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C=.7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.某人向正东方向走了x千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值是.9.下列判断中不正确的结论的序号是.①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求证：A=2B；（2）若a=3b,判断△ABC的形状.11.在△ABC中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA的值；7（2）△ABC的面积S△ABC=233，求BC的长.12.已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的方程ax2-222bcx-b=0(a＞c＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=103，c=7.（1）求角C；（2）求a，b的值.13.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA-cos2C=27.(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.14．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()．A．502mB．503mC．252mD.2522m15．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()．8A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°16．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()．A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？9参考答案例题答案题型一正弦、余弦定理【例题1】解∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=bBasin=245sin3=23,则A为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=BCbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226.故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=226或A=120°,C=15°,c=226.【例题2】解（1）由余弦定理知：cosB=acbca2222，cosC=abcba2222.将上式代入CBcoscos=-cab2得:acbca2222·2222cbaab=-cab2整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB=acbca2222=acac2=-21∵B为三角形的内角，∴B=32.（2）将b=13,a+c=4,B=32代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB∴b2=16-2ac211,∴ac=3.∴S△ABC=21acsinB=433.【例题3】解（1）∵cosA=bcacb2222=bcbc2=-21,又∵A∈（0°，180°），∴A=120°.（2）由a=3,得b2+c2=3-bc,又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.10（3）由正弦定理得：CcBbAasinsinsin2R,∴CRBRCARcbCasin2sin2)30sin(sin2)30sin(=CBCAsinsin)30sin(sin=CCCCsin)60sin()sin23cos21(23CCCCsin23cos23)sin43cos43=21【变式】1.22.解（1）由正弦定理得BbAasinsin.∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=45sin60sin8sinsinABa=46.(2)由正弦定理得sinC=430sin8sinbBc=1.又∵30°＜C＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22bc=43.3.1034.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sin2Ccos2C=4cos22C化简得：tan2C=2.从而tanC=2tan12tan22CC=-34.5.336.3或327.解（1）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4.又因为△ABC的面积等于3，所以21absinC=3，所以ab=4.联立方程组,4,422ababba解得22ba.（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时，A=2，B=6，a=334，b=332.当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,11联立方程组,2,422ababba解得.334332b，a所以△ABC的