单线段最值问题整合(1)

单线段最值问题（一）——基本分类邓晋荣一、单动点若要求最值的线段一端为定点，另一端为动点，则需要研究动点所在轨迹，一般为圆或直线．1.点在直线上运动点P是直线l上一动点，A是直线外一点，求AP的最小值．过点A作APl，垂足为P，则APAP．2.点在圆上运动点P为O上一动点，A是圆外一点，求AP的最值．连接AO并延长，交O于1P、2P两点，则12APAPAP．例1.如图，已知正方形ABCD，2AB，E、F分别在BC、CD上运动，且BECF，AE、BF交于点G，则CG的最小值为__________．例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点2,4A，点1,0P，B是轴y上一动点，过点A作ABAC交x轴于点C，M是BC中点，则PM的最小值为__________．例3.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在y轴上，3OA，4OC，D是线段AB上一动点，以CD为边在与点B同侧作正方形CDEF，则OE的最小值为__________．例1例2例3例4.如图，在边长为a的等边ABC△中，ADBC，点E是直线AD上的一个动点，连接CE，把线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接DF，则DF的最小值为__________．例5.如图，在RtABC△中，90ACB，4ACBC，D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则BE的最小值为__________．例6.如图，在ABC△中，90ACB，30BAC，2BC，D是AB边上一点，以AD为边在ABC△外侧作等边ADE△，过点D作DE的垂线，F是垂线上一点，G是EF中点，则CG的最小值为__________．lP'APP1P2AOPGFBCADExyMCAOPBxyFEBCAOD例4例5例63.多动点转化为单动点（1）双动点转单动点例7.如图，在RtABC△中，90C，4AC，3BC，D是AC上一动点，DEAC，DFBC，则EF的最小值为__________．例8.如图，A与x轴交于2,0B、4,0C两点，点P是y轴上一动点，DP切A于点D，则DP的最小值为__________．例7例8（2）相对运动转化例9.如图，在坐标系中，点A、B分别在x、y轴上运动，且2AB，在第一象限作等边ABC△，则OC的最大值为__________．例10.如图，在坐标系中，点A、B分别在x轴、直线yx上运动，且2AB，以AB为边在点O异侧作等边ABC△，则OC的最大值为__________．例9例10二、圆中的弦圆中的弦，由半径与圆心角（圆周角）决定，若圆心角固定，则弦的最值转化为半径的最值．半径的最值问题可以转化为单动点问题，也可以由半径与弦的关系求得（02lr）．例11.如图，在ABC△中，8ABAC，120BAC，D在线段BC上且3CDBD，点E、F分别在射线BA、CA上，若60EDF，则EF的最小值为__________．FDABCEEACBDGEABCDFFEBACDxyCDBAOPxyCAOBxyCAOB例12.如图，已知239684yxx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是线段BC上一动点，P是AD中点．过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F两点，则EF的最小值为__________．例13.如图，在RtABC△中，6AC，8BC，P、Q是AC、BC上的动点，CPQ△的外接圆，恰好与直线AB相切，则PQ的最小值为__________．例11例12例13三、动态折叠动态折叠的情况更加复杂，可以转化为单动点问题，也可能无法转化．例14.如图，在RtABC△中，90ACB，6AC，4BC，D是AC中点，E在BC上运动，沿DE折叠，使点C落在C处，则BC的最小值为__________．例15.如图，在RtABC△中，90ACB，6AC，8BC，D、E分别是AC、BC上的动点，沿DE折叠，使点C落在C处，则AC的最小值为__________．例16.如图，已知等边ABC△，边长为4，D、E是AC、AB上两动点，沿DE折叠，使点A恰好落到BC上，则CD的最大值为__________．例14例15例16EDCABFxyPFEABCODBACPQC'DBACEC'BACEDEA'CABD单线段最值问题（二）——连锁轨迹邓晋荣例1.如图，在ABC△中，2AB，3AC，以BC作等边BCD△，B、D、C三点为逆时针顺序，则AD的最大值为__________．例2.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在y轴上，3OA，4OC，D是线段AB上一动点，以CD为边在与点B同侧作正方形CDEF，则OE的最小值为__________．例3.如图，在边长为a的等边ABC△中，ADBC，点E是直线AD上的一个动点，连接CE，把线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接DF，则DF的最小值为__________．例1例2例3实际上，例1可以修改如下：例4.如图，3AC，点B在以A为圆心，半径为2的圆上运动，以BC为边作等边BCD△，B、C、D三点为逆时针顺序，则AD的最大值为__________．思考，我们能否证明点D也在某个圆上运动？如果把例4中的等边三角形改为等腰直角三角形呢？例5.如图，3AC，点B在以A为圆心，半径为2的圆上运动，以BC为斜边作等腰直角BCD△，B、C、D三点为逆时针顺序，则AD的最大值为__________．例4例5如何准确确定动点所在的轨迹？直线轨迹的位置或者解析式，圆轨迹的圆心和半径。1.位似变换如图，A是定点，点P在直线BC（或O）上运动，M是AP中点DCABxyFEBCAODFDABCEDACBDACB（定点）（从动点）（主动点）MAP（定点）（从动点）（主动点）C'B'MABCP（定点）（从动点）（主动点）O'MAOP2.旋转变换（旋转型全等）如图，A是定点，点P在直线BC（或O）上运动，作等腰直角APQ△，90PAQ（此处可以看作点P绕点A逆时针旋转90）3.旋转位似变换（旋转型相似）如图，A是定点，点P在直线BC（或O）上运动，作等腰直角APQ△，90APQ（此处可以看作点P绕点A逆时针旋转45后，再以点A为位似中心扩大2倍）结论1：若某动点（称为主动点）在某轨迹上运动，则与其连锁运动的点（称为从动点）也在同样的轨迹上运动。主动点在某直线上运动，从动点也在另一直线上运动；主动点在某圆上运动，从动点也在另一圆上运动。（此处的“连锁运动”即指主动点经过固定几何变换得到从动点）结论2：若主动点圆上运动，则应该把圆心进行同样的几何变换，得到从动点的圆心；若主动点在直线上运动，则选择该直线上任意一点，进行同样的几何变换，变换后的点与从动点（主动点）（从动点）（定点/旋转中心）QAP（主动点）（从动点）（定点/旋转中心）C'B'QABCP（主动点）（从动点）（定点）O'QOAP（主动点）（定点）（从动点）QAP（主动点）（定点）（从动点）C'B'QBCAP（定点）（从动点）（主动点）O'QOAP构成从动点所在直线。之后，再通过“手拉手”模型进行推导证明。结论3：主动点所在轨迹与从动点所在轨迹的长度之比等于位似比。例6.如图，在四边形ABCD中，90ABCADC，22ADCD，E是BD中点，则CE的最小值为__________．例7.如图，在坐标系中，点3,0A，点B在直线33yx上运动，以AB为边作等边ABC△，B、A、C三点为逆时针顺序，则OC的最小值为__________．例8.如图，AB是O的直径，C是OB上一点，P是O上一动点，以CP为底边作等腰直角CPD△，P、C、D三点为逆时针顺序，若6AB，2OC，则AD的最小值为__________．例6例7例8例9.如图，点O在线段AB上，1OA，2OB，以点O为圆心，OA长为半径作O，点P在O上运动，以BP为边作BCP△，使90PBC，tan2BPC，P、B、C三点为逆时针顺序，则AC的取值范围是__________．例10.如图，在平面直角坐标系中，已知点2,4A，点1,0P，B是轴y上一动点，过点A作ABAC交x轴于点C，M是BC中点，则PM的最小值为__________．例9例10ECDABxyCAOBPDCOABCOABPxyMCAOPB单线段最值问题练习练1.如图，在O中，半径为6，C是O上一动点，且30ACB，延长CB交过点A的切线于点D，则BD的最小值为__________．练2.如图，点A是直线yx上的动点，点B在x轴上运动，作矩形ABCD，2AB，1AD，A、B、C、D四点为逆时针顺序，则OD的最大值为__________．练3.如图，在等边ABC△中，3AB，点D、E分别在BC、AC上运动，且BDCE，AD交BE于点F，则CF的最小值为__________．练1练2练3练4.如图，在菱形ABCD中，2AC，4BD，P是CD上一动点，分别作点P关于AC、AD的对称点1P、2P，则12PP的最小值为__________．练5.如图，已点3,0A，0,4C，C的半径为2，点P是C上一动点，M是AP中点，则OM的最小值为__________．练6.如图，已知O半径为3，A、B是O上两点，将点B绕点A逆时针旋转90得到点C，则OC的最小值为__________．练4练5练6练7.如图，AB是O的直径，C是AB中点，D是BC上一动点，过点C作CECD交AD于点E，则BE的最小值为__________．练8.如图，在等边ABC△中，D是BC上一动点，M是AD中点，将线段DM绕点D顺时针旋转60得到DN．当点D从点B运动到点C时，点N运动的轨迹长为__________．练9.如图，已知定点A横坐标为23，过点A且垂直于x轴的直线交x轴于点M，交直线yx于点N．P是线段ON上一动点，作APB△，90BAP，30APB，A、P、B三点为逆时针顺序．当点P从点O运动到点N时，点B运动的轨迹长为__________．DBOACxyCDBOAFECABDDBACPxyMCAOPCOAB练7练8练9练10.如图，3AP，4BP，作正方形ABCD，A、B、C、D四点为逆时针顺序，CP的最大值为__________．练11.如图等边ABC△中，P是AC边上一动点，作BDP△，30PBD，PBPD，P、B、D三点为逆时针顺序，则CD的最小值为__________．练12.如图，ABCADE△△，90BACDAE，6AB，8AC，F是DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则线段CF的最小值为__________．练10练11练12练13.如图，已知菱形ABCD，8AB，60BAD，P在线段BC上，3CP，Q是AD上一动点，沿PQ折叠四边形ABPQ，得到四边形ABPQ，当DB最小时，DQ的值为__________．练14.如图，在ABC△中，30C，3AC，36BC，点D、E分别在AB、AC上，将ADE△沿DE折叠，使点A恰好落在BC上，则CE的最大值为__________．练13练14ECOABDNMCABDxyNMBAOPPBCADDCABPFEDABCQPCDBAEDCABA'