高等代数单元自测题7

-1-1高等代数单元测试第七章一、选择题1．在下列][xP的变换中是线性变换的为()A.A)1())((xfxfB.A1)())((xfxfC.A2)())((2xfxfD.A2)())((xfxf2．设A是线性空间V的一个线性变换,21,WW是V的任意两个子空间,则A)(21WW与A)(1WA)(2W的关系为().A.A)(21WW=A)(1WA)(2WB.A)(21WWA)(1WA)(2WC.A)(21WWA)(1WA)(2WD.无法确定3．设A,B,C是线性空间V的三个线性变换,0是V的零变换,则()A.A0,AB=0B=0B.AB=0A=0或B=0C.A=0或B=0AB=0D.A0,AB=ACA=C4.设A是线性空间V的线性变换,n都是A的一维不变子空间,且n21,则V中一定存在一组基,使A在该组基下的矩阵为()A.对角矩阵B.反对称矩阵C.可逆矩阵D.非对角的上三角矩阵5设A是一个不可逆线性变换，则A的特征值为()A.全是零B.至少一个是零C.全不是零D.至多有一个是零6.设0是线性变换A的特征多项式)(f的s重根,t是A关于0的特征子空间0V的维数,则s与t的关系为()A.t=sB.tsC.tsD.st7.设V是有限维线性空间,A,B,C是V的三个线性变换,则()A.(A+B)2=A2+2AB+B2B.(A+B)(A-B)=A2-B2C.(AB)C=A(BC)D.(AB)2=A2B28.设A是n维线性空间V的线性变换,A的特征多项式rsrssf)()()()(2121,其中1,2,…r互不相同,又设iV是A的关于i的特征子空间(i=1,2,…,r),则A可以在V的某组基下的矩阵是对角矩阵的充分必条件是对每个i=1,2,…,r有()-2-2A.维(iV)=SiB.维(iV)SiC.维(iV)SiD.维(iV)与Si没有关系二、判断题1.设A是线性空间V的线性变换，V,，如果A=A，则.（）2.设A是数域P上线性空间V的线性变换，1，2…rV,如果k1A1+k2A2+…+krAr=0(kiP),则k11+k22+…+krr=0.()3.设A是数域P上线性空间V的线性变换,)(xf,)(xg是P上两个一元多项式,则)(Af)(Ag=)(Ag)(Af.()4.设1,2…,r是n维线性空间V的一线性无关向量组,A,B都是V的线性变换，如果Ai=Bi(i=1,2,…,n),则A=B.()5.设V是n维线性空间,A是V的线性变换,则维(AV)+维(A1(0))=n.()6设A是线性空间V的线性变换,W是V的子空间.则A可以看作为W的线性变换.()7.设A是线性空间V的线性变换,W1,W2都是A的不变子空间,则W1+W2也是A的不变子空间.()8．设A是复数域C上的n维线性空间的线性变换,则V中至少有一个A的特征向量.()三、计算题1．在3P中定义两个线性变换:A),,(321xxx=),,2(13221xxxxx，B),,(),,(123321xxxxxx,求A+B,AB,BA,A1,B1.2．在几何空间中,取直角坐标系O-XYZ,以A表示将空间绕OX轴由OY轴向OZ轴旋转090的线性变换.(1).求A在基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)下的矩阵;(2).求A在基1=(1,0,0),2=(1,1,0),3=(1,1,1)下的矩阵;(3).判断A是否可逆?若可逆,试写出A1.-3-33.判断矩阵A2=200011011能否对角化?若能,求T,使ATT1为对角矩阵.4.设三维线性空间V的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为A=101110211.(1)求A在基311,21332,下的矩阵.(2)求A的值域及其维数.(3)求A的核及其维数.四、证明题1.设1,2…,s是向量空间V的一组向量,是V的一个线性变换,证明:(L(1,2…,S))=L((1),(2),…,(S)).2.设为n维线性空间V的一个线性变换,满足2=E(E表示恒等变换),证明:的特征值只能是1.3.设A是n维线性空间V的线性变换,W是A的一个不变子空间，证明：如果A可逆，则W也是关于1A的一个不变子空间。4．设A是复数域C上的n维线性空间V的线性变换，如果存在Nm，使0mA，则称A是幂零变换.证明：A是幂零变换的充要条件为A的n个特征值都是零。