高中数学必修部分错题分析4-数列

第1页高中数学必修部分错题分析四数数列列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5.无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2ba．我们把Ａ＝2ba叫做ａ和ｂ的等差中项．二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：).2(),1(11nSSnSannn若a1适合an(n2),则na不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为ndandSn)2(212，若令A＝2d，B＝a1－2d，则nS＝An2+Bn.第2页6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2)1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n－2;(2)1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.[例2]已知数列na的前n项之和为①nnSn22②12nnSn求数列na的通项公式。错解：①34)1()1(2222nnnnnan②nnnnnan21)1()1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.正解：①当1n时，111Sa当2n时，34)1()1(2222nnnnnan经检验1n时11a也适合，34nan②当1n时，311Sa当2n时，nnnnnan21)1()1(122∴nan23)2()1(nn[例3]已知等差数列na的前n项之和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于。错解：S30=S10·2d.d＝30，S40=S30+d=100.错因：将等差数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列误解为Sm,S2m,S3m成等差数列.第3页正解：由题意：7022930301029101011dada得152,521da代入得S40＝1204023940401da。[例4]等差数列na、nb的前n项和为Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn求77ba；错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.1110277417777ba错因：误认为nnTSnnba正解：79922713411371313777777TSbbaaba[例5]已知一个等差数列na的通项公式an=25－5n，求数列||na的前n项和；错解：由an0得n5na前5项为非负，从第6项起为负，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝2)5)(520(nnSn=6,2)5)(520(5,50nnnn错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.正解：6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？第4页解：理由如下：由题设：31010S122020S得：122019020310451011dada641da∴nnnnnSn2362)1(4[例7]已知：nna12lg1024（3010.02lg）Nn（1）问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：（1）02lg102402lg)1(10241nanann3403340112lg10242lg1024nn∴3402n（2）0)2lg(2)1(1024nnnSn当nnSS或0近于0时其和绝对值最小令：0nS即1024+0)2lg(2)1(nn得：99.680412lg2048n∵Nn∴6805n[例8]项数是n2的等差数列，中间两项为1nnaa和是方程02qpxx的两根，求证此数列的和nS2是方程0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx的根。（02nS）证明：依题意paann1∵paaaannn121∴npaanSnn2)(2212∵0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx∴0)lg(lg2npx∴nSnpx2（获证）。四、典型习题导练1．已知nnnSaa2311且，求na及nS。第5页2．设)1(433221nnan，求证：2)1(2)1(2nannn。3.求和:n3211321121114.求和：)12()34()9798()99100(222222225.已知cba,,依次成等差数列，求证：abcacbbca222,,依次成等差数列.6.在等差数列na中，40135aa，则1098aaa（）。A．72B．60C．48D．367.已知na是等差数列，且满足)(,nmmananm，则nma等于________。8.已知数列21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。§4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1.等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2.等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ为ａ和ｂ的等比中项．3.等比数列的前n项和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqanSnnn二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.第6页6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为nnqqaa1.当q0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而xqqay1是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数xqqay1的图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲[例1]已知数列na的前n项之和Sn=aqn（qqa,1,0为非零常数），则na为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：)1(111qaqaqaqSSannnnnn)1(11qaqSSannnnqaann1（常数）na为等比数列，即B。错因：忽略了1nnnSSa中隐含条件n＞1.正解：当n＝1时，a1=S1＝aq;当n1时，)1(11qaqSSannnnqaann1（常数）但qqaa112na既不是等差数列，也不是等比数列，选C。[例2]已知等比数列na的前n项和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于.第7页错解：S30=S10·q2.q2＝7，q＝7，S40=S30·q=770.错因：是将等比数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.正解：由题意：701)1(101)1(301101qqaqqa得)(3210110101舍去或qqqa，S40=20011401）（qqa.[例3]求和：a+a2+a3+…+an.错解：a+a2+a3+…+an＝aan11.错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;当a1时，a+a2+a3+…+an＝aan11.[例4]设dcba,,,均为非零实数，0222222cbdcabdba，求证：cba,,成等比数列且公比为d。证明：证法一：关于d的二次方程0222222cbdcabdba有实根，∴0)(44222222cbbacab，∴022acb则必有：02acb，即acb2，∴非零实数cba,,成等比数列设公比为q，则aqb，2aqc代入02422222222qaqadaqaaqdqaa∵0122aq，即0222qqdd，即0qd。第8页证法二：∵0222222cbdcabdba∴022222222cbcddbbabdda∴022cbdbad，∴bad，且cbd∵dcba,,,非零，∴dbcab。[例5]在等比数列nb中，34b，求该数列前7项之积。解：45362717654321bbbbbbbbbbbbbb∵53627124bbbbbbb，∴前七项之积2187333732[例6]求数列}21{nn前n项和解：nnnS21813412211①12121)1(1