几何画板实现了初中几何、函数教学难点的有效突破

几何画板实现了初中几何、函数教学难点的有效突破[摘要]初中几何、函数问题中的动态变化是传统数学教具较难演绎的，数的连续变化与点的运动之间的对应关系难于言表。本文阐述了在初中几何、函数教学中如何运用几何画板解决教学难点的做法：利用几何画板帮助学生理解基本概念；使抽象的数学教学变得形象、直观；利用几何画板验证问题和揭示问题本质；给学生提供猜想和探索的技术环境。几何画板引入初中数学课堂，它使初中几何、函数的教学出现质的飞跃。学生动手操作，激发兴趣，体验数学过程，发现数学结论。几何画板将传统数学教具表现的离散变成动态、连续，有效体现数形结合思想。[关键词]几何画板难点突破一、初中几何、函数教学中的困惑及分析长期从事初中数学教学，一直困扰的问题有：[1]某些几何概念的给出及相应定理的推导都是静止、片面的，尤其是几何问题中的动态与变化是传统数学教具无法演绎的。[2]函数教学（主要是一次函数、反比例函数和二次函数）一直是初中教学的难点，数的连续变化与点的运动之间的对应关系难于用语言表述清楚。产生上述困惑的主要原因是：传统数学教具只能表述静止、离散的图形概念。例如：三角形三边的中垂线必交于一点。教师用尺规在黑板上画一个三角形，并作出各边的中垂线，由此知晓这些直线是否交于一点，但这样只能看到一个三角形的情况，无法更好地理解每个三角形都具有这个性质。又如：研究一次函数bkxy（k≠0,k是常数）图象位置与k,b的取值有关，尽管作一次函数的图象也比较简单，但每条直线只是独立的个体，不能看到它的连续变化。二、几何画板（.GSP）的优势分析初中数学课上一般用PPt代替数学教师的板书，讲课的效率虽然提高，但表演成分居多，教学效果却不如传统的板书。而几何画板的功能优势表现在：1）学习容易。不需要编程，如果您已经有了Windows的操作基础，能够经过一周的培训就可以比较熟练地掌握它，这对于不太熟悉计算机程序语言的数学教师无疑是“福音”。2）操作简单。有些软件，即使您已经熟练地掌握了它，但由于操作复杂，需要大量的时间才能完成一个图形、图象或简单课件的制作，要在课堂上直接使用就根本不可能。而几何画板不同，您可以象使用圆规、三角板一样十分方便地使用它。3）交互性强，修改方便。在课堂上，学生很可能产生一些“奇思妙想”。软件有了交互性，就能给学生以参与的机会，可以让学生自己动手操作，实现自我学习；使学生的想象力得到充分发挥，也成为一个真正的“研究者”。4）功能强大，基本满足中学数学教学的需要。特别是平面几何、解析几何的需要，也能制作三维曲面。新版几何画板(5.01)又增加了函数图象功能。5）开放性好，可以与其他软件配合使用。三、几何画板软件在突破几何、函数教学难点上的策略(一)完整理解几何概念几何概念，如果离开了具体的实物形态即图形的作用，那么其本质含义就无法揭示和表现出来，因而，图形成为说明概念的“形态式”语言。平面几何教学难，难在于其抽象性。学生由于对概念的“形态式”语言的表示出现问题，故而导致对概念的理解产生了错误。学生不能把概念转换为图形语言，从图形中理解抽象的概念，学习也就望而却步。为此，在几何教学中，正确地教会学生识别几何图形，教懂学生作图，成为突破几何教学难的切入口。传统教学模式下，教师要利用三角板、直尺等教学工具用粉笔在黑板上作出很多有关教学内容的具有代表性的图形，并结合学生生活的具体实际，借助日常生活中学生熟知的经验知识，对典型图形进行分析、描述，引导学生认真观察、辨认，启发学生比较、联想。这样的教学无疑对学生认识图形、理解概念、奠定学习几何的形态式语言基础、建立起图形与概念之间的本质联系、深化对概念的认识有着重要的作用。但利用《几何画板》来进行几何概念教学，可以带来“出示图形更灵活，展现的图形更丰富，而且规范、直观”等诸多好处。[例1]要让学生正确理解圆周角的概念，并能在不同的位置下正确识别之，用《几何画板》绘制圆及圆周角，移动角的顶点可以让学生对处于不同位置上的圆周角都得到直观的认识和了解。这种利用《几何画板》的基本功能来表现概念的“形态”的做法能有效加深学生对概念的理解和认识，避免或减少学生因图形的问题而出现错误。[例2]在讲解三角形的三条中线、高线、角平分线分别交于一点时，传统的教学方法是让学生动手画三角形的中线等，但是可能由于手画有一定的误差，结果有的学生画好后三条中线并没有交于一点，由此对这个性质产生了怀疑。如果用几何画板，就能轻而易举的解决这个问题，并且能显示各种形状的三角形，特别是三角形的垂心有可能落在三角形外面的这个特征，学生会更深刻的理解这个知识点。(二)充分体现数形结合思想动态展示教学内容或数学问题，能够化抽象为具体，化具体为形象，因而，使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，同时数形结合思想得到充分体现。[例3]探索二次函数的性质，当a、m、k在变化时，图象会作怎样的变化？操作：在几何画板中“定义坐标系”，根据函数解析式“绘制新函数”绘出所需的以a、m、k为动态数据的二次函数图象。根据教学的需要，点击相应的按钮，学生就能及时看到当参数a发生变化时，图象的开口大小和方向也会随之变化；当参数m发生变化时，对称轴x=m就会在X轴左右移动；当k在变化时，图象的顶点坐标立即就会上下移动。几何画板在突破重难点内容时使教学更加直观、生动，大大降低了已往教学方法的难度，学生不仅感受到的是数学给他们带来美的享受，而且也会深化“一切事物都是运动变化”的哲学理念。(三)有效验证并揭示问题本质在解决数学问题中，由于问题本身的抽象性和推理的复杂性，花费了很多时间都未能把问题证明出来，此时，产生对问题的疑义并对问题真实性进行验证是一种极为可能并很想去做的事。验证一方面可以缓解心理紧张和心理焦虑，变换思维角度，对问题进行再认识；另一方面可以调节心理平衡，重塑解题信心。学生在通过实验验证得出问题是真实的时，将会激发起信心，增强解决问题的动力。从而，有效地克服推理过程中产生的心理障碍。[例4]（中点四边形）在三角形的中位线教学中，对四边形各边中点所围成的四边形是特殊的四边形，且与原四边形对角线有一定的关系这一问题的理解，内容比较多，可用几何画板软件制作如图所示的动画演示效果。（四）合理创设猜想和探索问题的技术环境猜想是在没有现存结论情况下根据问题的条件推断可能存在的结果的一种直觉思维形式。利用《几何画板》可以为学生探究性地建构知识提供环境，为学生进行猜想提供技术平台，从而让学生在探索中学习，在探究中自主地建构知识，提出猜想的结论，实现创新。学生学会利用《几何画板》去研究数学问题，从而找到解决数学问题的方法，在数学习题的教学中有着重要的意义，对提高学生自主探究的学习能力，培养学生的数学思维能力能起到不同寻常的作用。[例5]正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，与之边长相等的正方形OFEG与边BC，CD相交于点N、M，求四边形ONCM的面积。该问题解决关键在于得出四边形ONCM的面积与三角形OBC的面积相等，引导学生注意四边形OFEG的运动特征，让学生应用《几何画板》的动画特征，转动正方形OFEG，观察四边形ONCM面积的变化，从而探究出S四边形ONCM=S△OBC的结论。四、几点反思传统的教学方法，经过无数教师的努力，有很多成功的经验，有很好的效果。其中有一些经验在信息时代甚至会被发扬光大。而几何画板更有效地解决传统数学教学中无法解决或解决不好的一些问题。（一）表现两个变量之间形象的函数关系。例如：“已知矩形ABCD，AB=4厘米，BC=3厘米，点P为折线BCD上任意一点，设AP与矩形ABCD所围成的三角形面积是S平方厘米，从点A沿矩形周界且经过点B(或再经过点C)，到P的距离是x厘米，试用解析式将S表示成x的函数。”我们能用”几何画板”画出AP与矩形ABCD所围成的三角形，三角形面积会随着P点在矩形周界上运动而变化，在“几何画板”中还能度量出P点的运动距离x与三角形面积S，这些度量值会随着P点的运动而改变,还能显示出S与x函数图象。（二）表现事物的抽象性和抽象理论的具体性。广泛的应用性与高度的抽象性是数学的特点，也是学生产生兴趣与学习的难点所在。解决好数学的抽象性问题，是帮助学生克服难点，提高兴趣的关键。例如：在几何教学中常讲“点动成线，线动成面,面动成体。”但同学不一定真正理解这句话的含义。于是我们制作一个课件，来演示一个点运动后变成一条线段，一条线段运动后转化成一个矩形，一个矩形运动转化成一个长方体的过程，使学生对抽象的事物有个感性的认识作为理论的基础。因此，几何画板引入初中数学课堂，它使初中几何、函数的教学出现质的飞跃：学生动手操作，激发兴趣，体验数学过程，发现数学结论。几何画板将传统数学教具表现的离散变成动态、连续，有效揭示几何中的内在联系。但不是所有的数学知识都要用几何画板，什么样的知识适合用几何画板，应把握其切入点。参考文献：1.《国家数学课程标准》北京师范大学出版社2000.32.任能芝，多媒体辅助数学教学的优势，当代教育论坛，2005.73.黄小梅，多媒体在数学教学中的运用，教学研究，2007.64.王鹏程《对信息技术与数学教学整合的思考》载于《中小学电教》2009.9