高中数学课堂笔记--必修5

第1页共9页必修5知识点总结1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．2、正弦定理的变形公式：①2sinaR，2sinbR，2sincRC；②sin2aR，sin2bR，sin2cCR；③::sin:sin:sinabcC；④sinsinsinsinsinsinabcabcCC．（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当absinA，则B无解当bsinAa≤b,则B有两解当a=bsinA或ab时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC．5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；③若222abc，则90C．附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）．12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1an）．13、常数列：各项相等的数列（即：an+1=an）．14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．15、数列的通项公式：表示数列na的第n项与序号n之间的关系的公式．16、数列的递推公式：表示任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系的公式．17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:1nnaad。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数dndaann②211nnnaaa(2n)③bknan(kn,为常数DbsinAAbaC第2页共9页18、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若2acb，则称b为a与c的等差中项．19、若等差数列na的首项是1a，公差是d，则11naand．20、通项公式的变形：①nmaanmd；②11naand；③11naadn；④11naand；⑤nmaadnm．21、若na是等差数列，且mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa；若na是等差数列，且2npq（n、p、*q），则2npqaaa．22、等差数列的前n项和的公式：①12nnnaaS；②112nnnSnad．③12nnsaaa23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为*2nn，则21nnnSnaa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶．②若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（其中nSna奇，1nSna偶）．24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：1nnaqa（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1且为常数qnqaann②112nnnaaa(2n，011nnnaaa)③nncqa(qc,为非零常数).④正数列{na}成等比的充要条件是数列{nxalog}（1x）成等比数列.25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若2Gab，则称G为a与b的等比中项．（注：由2Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，b2Gab）26、若等比数列na的首项是1a，公比是q，则11nnaaq．27、通项公式的变形：①nmnmaaq；②11nnaaq；③11nnaqa；④nmnmaqa．28、若na是等比数列，且mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、p、*q），则2npqaaa．29、等比数列na的前n项和的公式：①11111111nnnnaqSaqaaqqqq．②12nnsaaa30、对任意的数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn[注]：①danddnaan111（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.第3页共9页②等差{na}前n项和ndandBnAnSn22122→2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值.如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列（时为一次函数）等比数列（指数型函数）数列前n项和公式对应函数等差数列（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列中，，则.分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。例题：3递增数列，对任意正整数n，恒成立，求分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单第4页共9页调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，，得⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：,...21)12,...(413,211nn⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd，的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证)(11nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。3.在等差数列｛na｝中,有关Sn的最值问题：(1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最大值.(2)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。附：数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于1nnaac其中{na}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例题：已知数列{an}的通项为an=1(1)nn,求这个数列的前n项和Sn.解：观察后发现：an=111nn∴1211111(1)()()2231111nnsaaannn3.错位相减法:适用于nnba其中{na}是等差数列，nb是各项不为0的等比数列。例题：已知数列{an}的通项公式为2nnan，求这个数列的前n项之和ns。解：由题设得：123nnsaaaa=1231222322nn即ns=1231222322nn①把①式两边同乘2后得2ns=23411222322nn②用①-②，即：ns=1231222322nn①2ns=23411222322nn②得第5页共9页23111111222222(12)212222(1)22nnnnnnnnsnnnn∴1(1)22nnsn4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+...+n=2)1(nn2）1+3+5+...+(2n-1)=2n3）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn6）)()11(11qpqppqpq31、0abab；0abab；0abab．32、不等式的性质：①abba；②,abbcac；③abacbc；④,0abcacbc，,0abcacbc；⑤,abcdacbd；⑥0,0abcdacbd；⑦0,1nnababnn；⑧0,1nnababnn．33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022110aaxaxaxannnn解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)0(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线（即从右向左、从