动参考系中质点系的动量矩定理和动能定理的讨论

动参考系中质点系的动量矩定理和动能定理的讨论在理论力学学中，由牛顿定律22ddmtrF，通过积分导出了质点对固定点O的动量矩定理d()dOmtrvrFM将该式用于质点系中的每一个质点im，求和并去掉成对出现的内力系对点O的主矩，得d()deiiiiimtrvrF或ddeOOtLM即质点系相对于固定点O的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上外力系对同一点的主矩。这就是质点系对固定点动量矩定理的微分形式。类比ddtrv，有ddOtLu。其中，u为定位矢量OL的矢端速度。代入式(44)，得eOuM式为质点系动量矩定理的几何解释式，称为赖柴定理，即质点系对任一固定点的动量矩矢端速度，等于外力对同一点的主矩。问题如图所示，长为l，质量为m的均质细长杆的质心O处与定轴AB固结，ABl，倾斜角为，定轴以匀角速度转动时，求支座A，B处动约束力。答因AB非细长杆主轴，先将ω沿杆的主轴正交分解，因杆细长，可忽略2ω方向的动量矩。则细杆对O点动量矩大小为21sin12OLml，方向如图所示，且垂直于杆。由于ddeOOtLuM，而cosOuL，故221sincossin21224eOABmlMmlFFll按右手法则确定,ABFF方向，如图所示(此时,,ABOFFL共面)。思考①若考虑问题中沿杆轴方向的动量矩，结果有何变化？②若杆与轴的固结点偏离质心O，结果又怎样？③若将均质细杆换为均质圆盘或矩形板，如何求解？2积分形式将(44)式两边对时间t求定积分得2121dteOOOttLLM式表明：质点系对任一固定点的动量矩在某一时间间隔内的改变量，等于在同一时间内各外问题图力对同一点的冲量矩之和。这就是质点系动量矩定理的积分形式，又叫质点系的冲量矩定理，常用于分析碰撞问题。3守恒形式若0eOM，则由(44)式，有d0dOtL，于是，OLc(常矢)即若质点系所受外力系对某一固定点的主矩恒为零，则该质点系对同一点的动量矩守恒。4投影形式以上所述动量矩定理的微分式、积分式和守恒式都是矢量式，任何矢量方程在同一轴上的投影是标量方程。我们知道，力对点之矩在过该点的轴上的投影就是力对该轴之矩。类似地，动量对点之矩在过该点轴上的投影等于该动量对该轴之矩。向x轴投影，得到ddexxLMt即质点系对定轴的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对同一轴之矩。若刚体绕x轴转动，注意到ddxxLJt，由式(48)易得到刚体绕定轴转动微分方程为22ddexxJMt将式(46)向x轴投影，得到2121dteOxOxxtLLMt即质点系对任一固定轴的动量矩在某一段时间内的变化量，等于各外力在同一时间内对该轴的冲量矩之和。向x轴投影，便得若0exM，则xxLc(常数)即若外力系对某轴之矩恒为零，则该质点系对该轴的动量矩守恒。注意在某些情况下，外力系对某点之矩不为零，但对过该点的某轴之矩可以为零，质点系对该轴动量矩守恒。问题试考察图(a)中的圆锥摆及图(b)中绕线滑轮系统是否存在动量矩守恒。答图(a)中，小球受重力G与绳的拉力TF作用，因0eOM，故OL不守恒；但对OC轴有，0OCM，OCL守恒。通过进一步分析可知，0CM，故CL守恒。图(b)中，因0OM，故OL守恒。TF(a)(b)动能定理的三种形式1微分形式对质点系中所有质点分别写出质点动能定理的微分式求和，并交换求和与微分运算顺序，便得到质点系动能定理的微分形式21d[]2iiimvW简写为dTW这表明，质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和。将式两边除以dt，并注意到，dFViiWt，可得ddTPt式中，0iiPFV为主动力系的功率。这是动能定理的另一微分形式，称为功率方程：质点系动能的变化率等于作用在质点系的所有外力和内力的功率之和。问题图示重型装卸车满载砂石的车厢总重量为210KN，其重心C与铰链O的水平距离为a=120cm。车厢翻转时角速度为0.05rads，求翻转时的最大功率。答cosPMGa问题6-5图maxKW126PGa(千瓦)2积分形式将式(6-17)积分，便得到质点系动能定理的积分形式2221121122iiiiimvmvW简写为2112TTW这表明，质点系从初位形1到末位形2的运动过程中，其动能的改变量等于作用在质点系上所有力所作功的代数和。注意，上述“所有力”，既包括外主动力和内力，也包括约束力。在理想约束(约束力不作功)系统中，只包含外主动力和内主动力。3守恒形式主动力作用的空间区域称为力场，如万有引力场等。若力场对质点的作用力只与作用点位置有关，则可表示为()(,,)FFrFxyz。如果主动力在有限位移上所作的功只与力的CGoa始末位置有关，而与运动路径无关，则称为势力场，或保守力场，例如重力场，弹性力场等。在势力场中，必存在势能函数()(,,)rVVxyz，其梯度恰好等于有势力，gradFV，即()VVVxyzFijk故有势力F从1到2位置的功为22121211ddWVVVFr将该式代入式(6-19)，得质点系的机械能守恒定律表达式1122TVTV或TVE常数式中，11,TV和22,TV分别为质点系在位形1和位形2时所具有的动能和势能；E为机械能。机械能守恒定律表明，系统仅在有势力作用下运动时，其机械能保持不变。这样的质点系通常称为保守系统；相反，受非有势力特别是耗散力(如作功的摩擦力、介质阻力等)作用的系统，称为非保守系统。问题动能定理与动量定理和动量矩定理在数学上独立吗?试举例说明。答一般不独立。在某些情形下，由动能定理可导出动量定理或动量矩定理的某个分量式，例如图示均质圆轮受水平恒力F作用，由静止向前滚动距离s，由动能定理有234CFsmv将其两边对时间t求导数得32CCCFvmva即32Fmr两边乘以r得vCFrJ这就是以轮子速度瞬心vC为矩心得出的动量矩定理方程。可见，动能定理与动量矩定理并不相互独立，有时成为同解方程。vCvC