求解变力做功的六种方法

栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力对位移的平均值F＝F1＋F22，再由W＝Flcosα计算功．一、平均值法求变力做功栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是()A．(3－1)dB．(2－1)dC.5－1d2D.22d栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53[解析]在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理．根据题意可得第一次做功：W＝F1d＝kd2d.第二次做功：W＝F2d′＝kd＋d′2d′.联立解得d′＝(2－1)d.[归纳提升]当力为变力，应用平均值法求功时，F＝F1＋F22只能用于F与位移l成线性关系的情况，不能用于F与时间t成线性关系的情况．栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53变力做的功W可用F－l图线与l轴所围成的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．二、图象法求变力做功栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53•如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一个质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，处于自然状态．现用一水平力F缓慢拉动木块,使木块向右移动s，求这一过程中拉力对木块做的功．栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53[解析]缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力的大小F＝ks′，是变力．法一：图象法力F随位移s′变化的关系如图所示，则力F所做的功在数值上等于图线OA与所对应的横轴所包围的面积，即等于△OAs的面积．则：W＝12s·ks＝12ks2.栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53法二：平均力法拉力F＝ks′，力与位移成正比，力F为线性力，则平均力为F＝0＋ks2＝12ks.W＝Fs＝12ks2.[答案]12ks2栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．三、微元法求变力做功栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53•例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈，又回到出发点．已知圆周的半径为R，求力F做的功时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…在每一段上，可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且同向，故•W＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝2πRF.•因此功等于力F与物体实际路径长度的乘积．即•W＝Fs.•对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v反向，故•W＝－Ff·s.栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53•如图所示，一质量为m＝2.0kg的物体从半径为R＝5.0m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15N，方向始终与物体所在位置的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°,•BO边为竖直方向，g取10m/s2.求这一过程中：•(1)拉力F做的功；•(2)重力mg做的功；•(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53•[答案](1)62.8J(2)－50J(3)0[解析](1)将圆弧AB分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体所在位置的切线方向成37°角，所以：W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…，Wn＝Flncos37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos37°·π3R＝20πJ＝62.8J.(2)重力mg做的功WG＝－mgR(1－cos60°)＝－50J.(3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0.栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53•1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功．•2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功．四、转换法求变力做功栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53•(2015·西安八校高一联考)某人利用如图所示的装置，用100N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A点移到B点．已知α1＝30°，α2＝37°，h＝1．5m，不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对物体所做的功．栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53•[答案]50J•[易错提醒]F做功的位移等于左边绳的变短的部分，而不等于物体的位移．[解析]绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所以不能直接根据W＝Flcosα求绳的拉力对物体做的功．由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力F所做的功求出绳对物体的拉力所做的功．由于恒力F作用在绳的端点，故需先求出绳的端点的位移l，再求恒力F的功．由几何关系知，绳的端点的位移为l＝hsin30°－hsin37°＝13h＝0.5m在物体从A移到B的过程中，恒力F做的功为W＝Fl＝100×0.5J＝50J.故绳的拉力对物体所做的功为50J.栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53五、用公式W=Pt求解对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据来求牵引力这个变力所做的功。例5、质量为5t的汽车以恒定的输出功率75KW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。栏目导引基础知识回顾典题分类讲解知能优化演练第七章机械能守恒定律20:5320:53动能定理法如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。例6.一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F所做的功为：（）A：B：C.：D：cosmgL(1cos)mgLsinFLcosFL