位值原理与整数四则运算

位值原理与整数四则运算很多小学生总是感觉用竖式计算整数的四则运算很抽象，不好理解，这是因为你们一开始学习数学与数的时候，就没有接触到问题的本质—数的位置原理。1.“数”与“数字”的区别要研究位值原理,我们得首先搞明白“数”与“数字”的区别。学了这么多年数学，很多人连“数”与“数字”的区别都还没搞清楚。什么是数，这个简单，我们从学习数学起就开始跟数打交道了，随便举几个例子：1（一位数）、59（两位数）、9889（四位数）等等都是数。数有一个天然的分类，那就是按位数分类，可分为一位数、两位数、三位数、四位数……。很显然，数的个数是无限的。什么是数字，很简单，就是我们常说的阿拉伯数字，只有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字，即数字的个数就是10个！2.数是怎么组成的（数的来历）？当我们把物体同数相联系的过程中，碰到的数会越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们。显然，我们学过的每一个数都是由数字构成的！我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一叫做“十”，10个“十”叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。显然，使用“满十进一”的计数法加上10个阿拉伯数字，我们可以准确地表示出一切数（整数）！即可以用有限的数字表示出无限的数！数就是这样由数字组成的举个例子，567这个数字的来历用文字表述下就是5写在百位上，6写在十位上，7写在个位上得来的，用式子表述下就是应该是通过5×100+6×10+7×1得来的。567即表示5个百，6个十，7个1的和。3.什么是位值原理？我们来研究一个三位数222。虽然百位、十位、个位上三个数字都是2，但是这三个2由于所处数位不同，他们所表示的大小也是不相同的（根据数的来历）。百位上的2应该表示200（2个100，即2×100）、十位上的2应该表示20（2个10，即2×10），个位上的2应该表示2（2个1，即2×1）。即222=2×100＋2×10＋2×1。即同一个数字，由于它在所写的数的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。4.位值原理的作用位值原理是整数加、减、乘、除四则运算的主要依据。下面我们举例来解剖四则运算竖式计算过程的本质。例1.123+345为什么等于468？我们都知道123+345=468，怎么算出来的，列加法竖式，然后根据加法竖式的计算法则（个位加个位，十位加十位，百位加百位）得出结果为468。但是加法竖式计算法则依据是什么？即为什么个位与个位相加，十位与十位相加，百位与百位相加得出的就是两数的和（似乎是废话）？其实依据就是位置原理配合上十进制（也就是数的来历）。因为123是1写在百位，2写在十位，3写在个位得来，即1×100＋2×10＋3×1得来，表示1个百，2个十，3个一的和。345是3写在百位，4写在十位，5写在个位得来，即3×100＋4×10＋5×1得来，表示3个百，4个十，5个一的和。所以求123+345等于多少，根据加法的意义，其实就是求两个加数共含有多少个百，多少个十，多少个1。显然123+345一共有（1+3）个百，（2+4）个十，（3+5）个一，用式子表示下就是123+345=（1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1，最后结果是468.（1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1其实就是计算加法竖式时“个位与个位相加、十位与十位相加、百位与百位相加”的运算法则的来由！即123+345为什么等于468，加法竖式法则只是表面现象，（1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1才是结果为468的真正原因！所以任意两个数相加，你如果不用列加法竖式去做的话（口算只是将列竖式的过程在心中进行罢了），都可以用（+）×100+（+）×10+（+）×1的形式去做。举个例子，364+225可以这样去做，364+225=（3+2）×100+（6+2）×10+（4+5）×1=589。以上的计算过程可以简化为：例1.364+225=（3百+6十+4个）+（2百+2十+5个）=（3百+2百）+（6十+2十）+（4个+5个）=5百+8十+9个=589例2.485-169=（4百+8十5个）-（1百+6十9个）（个位上的5不够减9）=（4百+7十+15个）-（1百+6十9个）=（4百-1百）+（7十-6十）+（15个-9个）=3百+1十+6个=316例3.123×4=（1百+2十+3）×4=1百×4+2十×4+3×4=4百+8十+12个1=4百+8十+1十+2个1=4百+9十+2个1=492例4.2145÷15364＋225589485－169316123×4492=（2千+1百+4十+5）÷15=（21百+4十+5）÷15=1百+（6百+4十+5）÷15=1百+（64十+5）÷15=1百+4十+（4十+5）÷15=1百+4十+（45）÷15=1百+4十+3=143总结：明白了位值原理，表面上是将简单的问题复杂化了，但是有好多时候，熟悉了解位值原理可以让我们非常轻松地去理解整数加减乘除四则运算的法则。这一原理同样适用于小数的四则运算。LYH2016.03.10