鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案二、巴特沃斯(Butterworth)低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为2221|()|1NHjC(5-8)其中C为一常数参数,N为滤波器阶数,为归一化低通截止频率,/p。式中N为整数,是滤波器的阶次。巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性,这就是说,N阶低通滤波器在0处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零,在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图5-5所示。滤波器的特性完全由其阶数N决定。当N增加时,滤波器的特性曲线变得更陡峭,这时虽然由(5-8)式决定了在p处的幅度函数总是衰减3dB,但是它们将在通带的更大范围内接近于1,在阻带内更迅速的接近于零,因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图5-5所示。设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为,归一化传递函数为()Hp,其中pj,则由(5-6)式和(5-8)式得:2221()1(1)NNpjHjCp由于221()()()1()aajsNcHsHsAsj(5-9)所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标p:通带截止频率;p:通带衰减,单位:dB;s:阻带起始频率;s:阻带衰减,单位:dB。说明:(1)衰减在这里以分贝(dB)为单位;即N=4N=10N=21p2()Hj0.707图5-5巴特沃斯低通滤波器的振幅特性1psps()Hj图5-6巴特沃斯低通滤波器指标鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案222110lg10lg1()NCHj(2)当3dB时pC为通常意义上的截止频率。(3)在滤波器设计中常选用归一化的频率/C,即1,pspspp2、巴特沃斯低通滤波器设计实质根据设计指标要求p,p,s,s确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C及滤波器的阶数N;然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。(1)将实际频率归一化得1ppp,ssp,再根据已知的p,s,幅度平方函数2221|()|1NHjC确定C和N。(2)求C和N由2221()10lg10lg1()NCHj并带入p,p,s,s得222210lg10lg11NppNssCC即22221010101011NpNspsCC因为1p,所以210101pC由10102210101101101sspNsC两边取对数得:lglgsaN其中1010101101spa这样可以求出C和N。鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案注意:当3pdB时,20.3101011011pC,即C=1,此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N。(3)确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。由于22211()()()1(1)1()pNNNjHpHpGjppj由21(1)0NNp,解得极点为:212,1,2,,2kNNjkpekN将p左半平面的极点赋予()Hp即121()NHppppppp其中212,1,2,,kNNjkpekN为了便于设计,工程上已将当1p时,各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅,该表如表5-1所示。在表5-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。表5-1归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表阶次归一化系统函数111s21212ss3122123sss443212.63.42.61ssss5543213.23615.23615.23613.23611sssss(4)去掉归一化影响上面设计中采用归一化的频率即1p,而实际中截止频率为p,所以要进行如下的变量代换:ppspjj即()()pspHsHp综上,归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下:鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案(1)计算归一化频率1ppp,ssp。(2)根据设计要求按照210101pC和lglgsaN其中1010101101spa计算巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N;注意当3pdB时C=1。(3)利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()Hp;(4)令()Hp中的psp得到截止频率为p的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。例5-2已知滤波器的3dB截止频率为50Hz,试求一个二阶巴特沃斯低通滤波器的实现方案。解:根据题义,滤波器设计指标为:截止频率50cfHz;阶数N=2;查表得归一化低通巴特沃斯原型滤波器的系统函数为:21()11.414Hppp2100ccfrad/s,代入()Hp得:24241()()11.414()()1001009.8710444.39.8710cspHsHpssss例5-3试设计一个巴特沃斯低通滤波器,要求截止频率5000pfHz,通带最大衰减3pdB,阻带起始频率10000sfHz,阻带最小衰减30sdB。解:已知225000ppf,3pdB,2210000ssf,30sdB(1)计算归一化频率1ppp,2ssp。(2)计算出巴特沃斯滤波器的阶次N及C20.3101011011pC3100.31010110131.637101101spa则lglg31.6374.982lglg2saN鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案选择N=5。(3)利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()Hp;54321()3.23615.23615.23613.23611Hpppppp(4)去掉归一化影响2055448231232164205()()103.236105.236105.236103.2361010pspHsHpsssss三、切比雪夫(Chebyshev)滤波器设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此,当通带的边界处满足指标要求时,通带内肯定会有裕量。所以,更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内,或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型:振幅特性在通带内是等波纹的,在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器;振幅特性在通带内是单调的,在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图5-7和图5-8分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫I、II型滤波器的频率特性。()Hjps/p2110N为奇数(a)1()Hj2110N为偶数(b)1图5-7切比雪夫I型滤波器的振幅特性(a)N=3,2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性(b)N=4,2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性()Hj2110N为奇数(a)1()Hj2110N为偶数(b)1图5-8切比雪夫II型滤波器的振幅特性ps/pps/pps/p鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案1、切比雪夫I型滤波器的基本特点现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计,切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为22221()()1NAHjc(5-11)为小于1的正数,表示通带内振幅波动的程度。越大,波动也越大。/p为对截止频率p的归一化频率,p为截止频率,也是滤波器的通带带宽(注:切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB带宽)。()NCx是N阶切比雪夫多项式,定义为11cos()01()()1NNcosxxCxchNchxx(5-12)其中1cos()x为反余弦函数;()chx为双曲余弦函数;1()chx为反双曲余弦函数;它们的定义如(5-13)式和(5-14)式所示2xxeechx(5-13)12()()ln(1)chxarcchxxx(5-14)(5-12)式可展开为多项式的形式如表5-2所示:由表5-2可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为11()2()()NNNCxxCxCx(5-15)图5-9示出了N=0,4,5时切比雪夫多项式的特性。由图5-9可见:1.切比雪夫多项式的零值在01x的间隔内。2.当x1时,()1NCx,且具有等波纹幅度特性。3.在1x的区间外,()NCx是双曲余弦函数,随着x而单调增加。再看函数22()NCx,是小于1的实数,22()NCx的值在1x之内,将在0至2之间改变。而221()NCx的函数值在1x之内,将在1至21之间改变。然后将221()NCx取倒数,即可得(5-11)式的切比雪夫I型滤波器幅度平方函数。根据以上所述,在1,2()Hj在接近1处振荡,其最大值为1,最小值为211。在此范围之外,随着增大,N()NCx011x2221x3343xx442881xx表5-2切比雪夫多项式展开式1-11()NCx4()Cx5()Cx0()Cxx图5-9切比雪夫多项式曲线0鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案22()1NC,则2()Hj很快接近于零。图5-7画出了切比雪夫I型滤波器振幅特性曲线,从中可以看出:振幅特性()Hj的起伏为1~211,因2(1)1NC,所以在1p时,21()1Hj,即切比雪夫I型滤波器的截止频率并不对应3dB的衰减。2、切比雪夫I型滤波器设计方法由(5-11)式可知,要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数,需要确定三个参数:,c及N。下面研究如何确定这三个参数,具体步骤如下:(1)将实际频率归一化得1ppp,ssp再根据已知的p,s,幅度平方函数2221|()|1()NHjC确定和N。(2)确定和N。定义通带波纹(即通带衰减)()(以分贝为单位)为:2221()10lg10lg1()()NCHj代入p,p,s,s得222210lg10lg1()1()NppNssCC即22221010221()10()1011()NpNSpssCCchNch因为1p,2(1)1NC,所以210101p1010212210101101()101sspschNcha鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案则11()()schaNch其中1010101101spa这样可以求出和N,其中12()ln1chxxx。在已知、N、p的情况下,就可以根据幅度平方函数求出滤波器的零点和极点,从而确定滤波器的系统函数。n0a1a2a3a4a12db波纹(20.3493114,0.1220184)12.862775221.51620261.425624530.71569381.53489541.252913040.37905061.02545531.71686621.197385650.178923400.75251811.3