大学毕业论文《逆矩阵的求法》

1逆矩阵的小解及其应用（西北师范大学数学与统计学院09级7班甘肃兰州730070）摘要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的典型例题.关键字：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵ThesolutionofinversematrixanditsapplicationLIJINYE（DepartmentofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,09classesofgrade3,Lanzhou,Gansu730070）Abstract:Matrixtheoryisamaincontentoflinearalgebraandanimportanttooldealingwithpracticalproblem.Inversematrixhasaveryimportantpositioninmatrixtheory.Inordertosolvetheinversematrixmoreeasily,weintroduceseveralsimpleinversematrixmethodsaccordingtodifferentcharacteristics.Thispaperalsogivesbriefdemonstrationtopartofthemethodsandcorrespondingtypicalexamplesforalloftheapproaches.Keywords:Inversematrix;Blockmatrix;Elementarytransformation;Adjointmatrix.矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而求逆矩阵在矩阵中占有重要地位．所以，本文详细归纳了一系列的求解方法，并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法．本文在已有的几种常见方法的基础上对其进行深入探索研究，并对已经学过的知识进行了更深层次的研究，找到了多种解决逆矩阵求解的方法.早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵．而在求逆矩阵的方法中经常利用对角矩阵为过渡过程，在本文中就运用了此法．21方法总结1.1定义法[1]n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B,使得EABBA1这里E是单位矩阵，那么我们可以将矩阵A的逆矩阵表示如下：1AB.例1设A为n阶矩阵，并且满足0242EAA,求1A.解0242EAA242AAE222EAA22EAAE由定义可知1A42AE1.2伴随矩阵法设A是n阶实矩阵，若0A,那么1*1AAA证明设1n阶矩阵111212212212nnnnnnaaaaaaAaaa由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220ijijinjnAijaAaAaAij，若，若1220iijijninjAijaAaAaAij，若，若这里的代数余子式，中元素是行列式ijijaAA由此可知，若令31121121222*12,nnnnnnAAAAAAAAAA那么AAAA**AAAA000000000000EEEEA0000000000000A,由此可得，EAAAAAA**11由矩阵定义可知：1*1AAA.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过EAA1来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例2矩阵Adcba,且1cbda，求1A.解abAcd1cbda0A所以可逆，并且*11AAA22122111*AAAAA*dbAca所以所以*11AAAcbdaacbd1acbd=acbd.1.3初等变换法[1]求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初4等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵SPPP,,21使sppp21AE1用1A右乘上式两端，得：sppp211A2比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵1A.用矩阵表示AE初等变化1EA这是求逆矩阵的初等行变换法，或者1AEEA列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例3已知矩阵A,求1A,其中101011100A解231100125001125001E013010013010013010125001231100006112113410066312500112500113013010013010010122019102111111001001663663A1113410066313010122111001663故A.1.4分块矩阵法51.4.1引理[1]设A、B、C、D均可逆，求证1111111111BACDACBACDBACDBABACDBAADCBA成立.证设A、D分别为r阶、s阶的方阵，则：1111111110000BACDACBACDEBACDBABACDBAAEEDCEBAsr1111111111BACDACBACDBACDBABACDBAADCBA证毕.由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.1.4.2准对角线型矩阵的求逆设A、B都是非奇异矩阵,且A为n阶方阵，B为m阶方阵，若矩阵CBA00，则1C1100BA.证明A、B均为非奇异矩阵，则00BA且所以000BABACA所以可逆设AWZYX,0000nmIXYAIZWB所以其中00nmXAEYBZAWBE又A、B均为可逆矩阵，所以1100XAYZWB11100BAC.可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：611111000000000000000000000000AAAAAAAA例4已知0052002112001100A，求1A.解将A分块如下：120052002112001100OAAAO，其中125212,2111AA可求的1*1*1122121212111,2511||||3AAAAAA从而1121112003311003312002500OAAAO1.4.3准三角型矩阵求逆设A、C为非奇异矩阵，则10CBA11110CBCAA.证明CAEBAECBA0001两边求逆得：111110000CACBAEBAE所以1111111100000CBCAACAEBAECBA.7同理可证1111100CBCAACBA.此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵.是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例5已知1252142112001100T，求1T.解将T分块如下：12521421012001100ABTC，其中125212,,142111ABC可求的1*1*11121112,1111||||322AACCAC从而111111111263111122630120033110033AABCTC1.4.4上三角形矩阵求逆[2]如果n阶矩阵nnnnnnaaaaaaaaA,,21,222,11,112110000可逆，那么他的逆矩阵是1,,21,21,211,2122,11111,11111211111110000nnnnnnnnaaaaaaaaA8其中：111,1,111,,,1,2,,1,1,2,2;3,4,iiiiijjjijkjikkkikjttinttttinjn例6求上三角矩阵2000520031102131A的逆矩阵.解根据上述定理可得2,21,312211223131331323133231212212tttttttt41,23133233424144243414434tttt