关于逆矩阵求法的讨论毕业论文

南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一三届）题目：关于逆矩阵求法的讨论院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：张利明学号08090231指导教师：肖艳艳南京师范大学泰州学院教务处制南京师范大学泰州学院本科毕业论文1摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法。主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。关键字：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵Abstract:Intheaimofextractingtheinverseofthematrixmoreconveniently,thispaperintroducesseveralmethodsofextractingtheinversematrixaccordingtothedifferentfeaturesofthematrix.Itmainlyincludsthedefinitionmethod,theadjointmatrixmethod,theelementaryoperationmethod,thepartitionedmatrixmethodandthemethodofsolvingtheequations.Someofthesemethodsarebrieflydemonstratedinthepaper.Keywords:inversematrix;partitionedmatrix;elementaryoperation;adjointmatrix南京师范大学泰州学院本科毕业论文2目录1绪论.........................................................31.1研究意义..........................................................31.2国内外研究现状....................................................31.3本文主要解决的问题................................................42矩阵的基础知识...............................................42.1矩阵的定义及性质..................................................42.1.1矩阵的定义..................................................42.1.2矩阵的性质..................................................52.2逆矩阵的定义与性质................................................62.2.1逆矩阵的定义................................................62.2.2逆矩阵的性质................................................73逆矩阵的求法.................................................73.1用定义求逆矩阵....................................................73.2用伴随矩阵求逆矩阵................................................83.3用初等变换求逆矩阵................................................93.3.1初等行变换...................................................93.3.2初等列变换...................................................93.3.3混合采用初等行、列变换......................................103.4用分块矩阵求逆矩阵...............................................123.5用解方程组求逆矩阵...............................................12结论........................................................14谢辞........................................................15参考文献......................................................16南京师范大学泰州学院本科毕业论文31绪论矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的主要研究对象之一，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了。18世纪中期，数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，即二次型的化简。在这一问题的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论。1748年，瑞士数学家欧拉(L．Euler，1707—1783)在将三个变数的二次型化为标准形时，隐含地给出了特征方程的概念。1773年，法国数学家拉格朗日(J．L．Lagrange，1736—1813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换。1801年德国数学家高斯(C．F．Gauss，1777一1855)在《算术研究》中，将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广，给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。另外，高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。1.1研究意义矩阵理论是线性代数的一个重要内容，也是处理实际问题的重要工具，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。比如逆矩阵可以用来解线性方程组。逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值以及它的伴随矩阵，当其阶数较高时，它的计算量是很大的，此时用伴随矩阵法求逆矩阵通常是不方便的。为了更便捷地求矩阵的逆，本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法，这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题。同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础。1.2国内外研究现状矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位，逆矩阵的应用也相当广泛。可以说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到逆矩阵。随着逆矩阵研究的深入，其应用的范围越来越广，在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要用逆矩阵来解决。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，系统识别问题和网络问题等领域，逆矩阵更是不可缺少的研究工具。南京师范大学泰州学院本科毕业论文41.3本文主要解决的问题本文先对矩阵及其逆矩阵从定理、性质等方面进行了总结，然后介绍了逆矩阵的几种常用的求解方法，主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法。从而对矩阵有了进一步的理解，有助于解决在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域遇到的相关问题。2矩阵的基础知识2.1矩阵的定义及性质2.1.1矩阵的定义由nm个数ija(1,2,,;1,2,,)imjn排列成m个行n个列的数表mnmmnaaaaaaaaaA2112221141211称为nm矩阵，其中数ija称为矩阵A的),(ji元.当nm时，称A为n阶矩阵或n方阵.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作nmO或简记为O.两个矩阵nmijaA)(，tsijbB)(，如果sm，tn，则称矩阵A与B为同型矩阵.如果两个同型矩阵)(ijaA与)(ijbB的对应元素相等，即ijijab，1,2,,im，1,2,,jn，则称矩阵A与B相等，记作BA或nmijnmijba)()(.[1]当1m时，矩阵),,,(21naaaA称为行矩阵或行向量.当1n时，，矩阵mbbbA21称为列矩阵或列向量.形如南京师范大学泰州学院本科毕业论文5nnaaa0000002211的n阶方阵，即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵，记作1212(,,,)nnaadiagaaaa.特别当aaaann2211时，这时的对角矩阵叫做n阶数量矩阵.当12211nnaaa时，这时的数量矩阵叫做n阶单位矩阵，记作nE或nI，在阶数不致混淆时，简记为E或I，即100010001nI.主对角线下方的元素都是零的方阵nnnnaaaaaa00022211211叫做上三角矩阵.主对角线上方的元素都是零的方阵nnnnaaaaaa21222111000叫做下三角矩阵.[2]2.1.2矩阵的性质性质1矩阵的加法运算具有以下运算规律：)1(加法交换律ABBA；)2(加法的结合律)()(CBACBA；)3(AAOOA，南京师范大学泰州学院本科毕业论文6其中A，B，C都是nm矩阵.性质2矩阵数乘运算满足以下运算规律：)1()()(kAllAkA；)2(kBkABAk)(；)3(lAkAAlk)(，其中A，B都是nm矩阵，k，l为任意实数.性质3矩阵乘法满足的运算规律和性质：)1(结合律)()(BCACAB；)2(分配律ACABCBA)(，BCACCBA)(；)3(数与乘法的结合律)()()(ABkkBABkA；)4(当A，B均为n阶方阵时，有BAAB；)5(TTTABAB)(；)6())(),(min()(BrArABr.[3]性质4矩阵乘法不满足交换律：例1已知0001A，0100B.求AB和BA.解000001000001AB，010000010100BA.2.2逆矩阵的定义与性质2.2.1逆矩阵的定义定义设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得IBAAB成立，那么矩阵A称为可逆矩阵，此时矩阵B称为A的逆矩阵，简称为矩阵A的逆.如果A的逆矩阵不存在，那么A称为不可逆矩阵.A的逆矩阵记作1A，即如果IBAAB，那么1AB.南京师范大学泰州学院本科毕业论文72.2.2逆矩阵的性质性质1如果矩阵A可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的.证明设B，C都是A的逆矩阵，那么有CICCBAACBBIB)()(，所以A的逆矩阵是唯一的.性质2如果A可逆，那么1A可逆，且AA11)(.性质3如果A可逆，数0，那么A可逆，且111)(AA.性质4如果A可逆，那么TA可逆，且TTAA)()(11.性质5如果A，B都是n阶可逆矩阵，那么AB可逆，且111)(ABAB.证明因为IAAAIAABBAABAB111111)(