信号与系统实验3：矩形脉冲信号的分解

（规格为A4纸或A3纸折叠）一、实验目的1、分析周期矩形脉冲信号的频谱，了解周期矩形脉冲信号谐波分量的构成。2、掌握用傅里叶级数对周期矩形脉冲信号进行谐波分析的方法。3、观察周期矩形信号分解出的各谐波分量可以通过叠加合成出原矩形脉冲信号。二、实验原理1.信号的频谱信号的时间特性和频率特性是对信号的两种不同的描述方式。根据傅里叶级数原理，任意一个时域的周期信号)t(f，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。对于一个周期为T的时域周期信号)t(f，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间),(11Ttt内表示为10sincos)(nnntnbtnaatf即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。A0tAn0A0t（a）（b）Ω（c）ω5335图3-1信号的时域特性和频域特性图3-1来形象地表示。其中图3-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维坐标系统中的图形；图3-1(b)是信号在幅度--时间坐标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图3-1(c)是信号在幅度--频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。在本实验中只研究信号振幅频谱。2.周期矩形信号的傅里叶级数一个周期为0T的周期矩形信号在一个周期00,22TT内的定义为~,2()0,2Atxtt，如图下图3-2所示，一个周期内从~22幅值为1，其余为0。At)(~txT0-T00图3-2周期矩形信号由傅里叶级数展开式可知，方波信号傅里叶级数系数为：000sin()()2nnnACsanT；则该周期信号的三角形式的傅里叶级数的形式可以表示为：~000100sin()2()cos()T2nnAAxtSantT若=T0/2，则有)5cos513cos31(cosπ22)(~000tttAAtx可以看出各频率分量中，直流分量为A/2；偶次谐波分量为零；各奇次谐波分量比值为..:71:51:31:1。图3-3周期矩形信号当占空比为0.5时候的方波，即40T时...)7cos(71)5cos(51)3cos(31)cos(121)(tttttx可以看出方波各频率分量中，直流分量为0.5；偶次谐波分量为零；各奇次谐波分量比值为..:71:51:31:1。3.周期矩形信号的合成吉伯斯现象（Gibbs）合成方波信号与原信号的误差取决于傅里叶级数的项数。合成波形所包含的谐波分量越多，它越逼近原方波信号，但是间断点除外。用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。这种现象称为吉伯斯现象。三、实验内容及步骤1.周期矩形信号的频谱分析已知周期矩形脉冲f(t)，设幅度A=1,宽度为i，周期为T，将其展开为傅里叶级数，研究周期矩形的宽度i和周期T变化时，对其频谱的影响。(i=1/T=10;i=1/T=5;i=2/T=10)2.周期矩形信号的分解参考下面程序，将频率为50Hz幅值为3的周期矩形信号进行分解，给出前5项谐波，并在不同坐标系和同一坐标系下绘制各次谐波波形。3.周期矩形信号的合成对书中P220的例4-33题进行仿真，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，观察N值改变时合成波形的变化，并验证Gibbs现象。四、实验报告要求1、简述实验目的和实验原理。2、编程实现实验内容要求附上源代码及运行结果图示。3、总结实验中的主要结论、收获和体会。五、实验结果1.周期矩形信号的频谱分析已知周期矩形脉冲f(t)，设幅度A=1,宽度为i，周期为T，将其展开为傅里叶级数，研究周期矩形的宽度i和周期T变化时，对其频谱的影响。(i=1/T=10;i=1/T=5;i=2/T=10)代码：closeallclctau=1;T=10;w1=(-8*pi):(2*pi/T):(8*pi);fn=tau*sinc(w1/pi*tau/2);%sinct=sin(pi*t)/pi*t(t不等于0);(t=0)sinct=1;subplot(3,1,1);stem(w1,fn);grid;title('tau=1,T=10');axis([-2525-0.52]);tau=1;T=5;w2=(-8*pi):(2*pi/T):(8*pi);fn=tau*sinc(w2/pi*tau/2);%sinct=sin(pi*t)/pi*t(t不等于0);(t=0)sinct=1;subplot(3,1,2);stem(w2,fn);grid;title('tau=1,T=5');axis([-2525-0.52]);tau=2;T=10;w3=(-8*pi):(2*pi/T):(8*pi);fn=tau*sinc(w3/pi*tau/2);%sinct=sin(pi*t)/pi*t(t不等于0);(t=0)sinct=1;subplot(3,1,3);stem(w3,fn);grid;title('tau=1,T=10');axis([-2525-0.52]);图3-4周期矩形脉冲信号频谱2.周期矩形信号的分解将频率为50Hz幅值为3的周期矩形信号进行分解，给出前5项谐波，并在不同坐标系和同一坐标系下绘制各次谐波波形代码：t=0:0.01:2*pi;y=zeros(10,max(size(t)));x=zeros(10,max(size(t)));fork=1:2:9x1=sin(k*t)/k;x(k,:)=x(k,:)+x1;y((k+1)/2,:)=x(k,:);endsubplot(2,1,1);plot(t,y(1:5,:));grid;halft=ceil(length(t)/2);subplot(2,1,2);mesh(t(1:halft),[1:10],y(:,1:halft));图3-5周期矩形脉冲信号的分解3.周期矩形信号的合成对书中P220的例4-33题进行仿真，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，观察N值改变时合成波形的变化，并验证Gibbs现象。代码：t=-2:0.001:2;N=input('N=');c0=0.5;fN=c0*ones(1,length(t));forn=1:2:NfN=fN+cos(pi*n*t)*sinc(n/2);endplot(t,fN);title('N=num2str(N)');axis([-22-0.21.2]);六、思考题1、周期矩形脉冲信号的脉冲宽度对信号的频带宽度有何影响？试用理论计算说明。2、试写出教材P224中4-5(b)的傅里叶级数展开数学表达式及其频谱，并用Matlab绘出图形。与P224中4-5(a)的结果相比较，说明不同之处。图3-5周期矩形脉冲信号1、答：3^n[u(n)-u(n-3)]这是三个脉zhidao冲，在n=0、1、2，的位置上，高度分别是：1、3、9。先卷积第一项：3^n[u(n)-u(n-3)]*S(n)，卷积结果，还是原专来的一模一样。再卷积第二项：3^n[u(n)-u(n-3)]*[－2S(n-1)]，卷积结果：也是三个脉冲，在n=1、2、3，的位置上，高度分别是：－2、－属6、－18。两个结果相加：n=0：1=1n=1：3+(－2)=1n=2：9+(－6)=3n=3：0+(－18)=－18n=4：02、答：（a）：Cn=A/2*Sa(n*pi/2);(b):Cn=A/2*Sa(n*pi/2)*e(-j*n*pi/2)代码：tau=1;T=10;w1=(-8*pi):(2*pi/T):(8*pi);fn=tau*sinc(w1/2);%sinct=sin(pi*t)/pi*t(t不等于0);(t=0)sinct=1;subplot(2,1,1);stem(w1,fn);grid;title('tau=1,T=10');axis([-2525-0.52]);tau=1;T=10;w2=(-8*pi):(2*pi/T):(8*pi);fn=tau*sinc(w2/2).*exp(-1j*w2/2);%sinct=sin(pi*t)/pi*t(t不等于0);(t=0)sinct=1;subplot(2,1,2);stem(w2,fn);grid;title('tau=1,T=10');axis([-2525-0.52]);注：1、实验报告的内容:一、实验目的；二、实验原理；三、实验步骤；四、实验结果；五、讨论分析（完成指定的思考题和作业题）；六、改进实验建议。2、各专业可在满足学校对实验教学基本要求的前提下，根据专业特点自行设计实验报告的格式，所设计的实验报告在使用前需交实践教学管理科备案。