信号与系统实验4：抽样定理与信号恢复

（规格为A4纸或A3纸折叠）一、实验目的1、了解信号的抽样方法与过程以及信号恢复的方法。2、验证抽样定理。二、实验原理1.连续时间信号的离散化与抽样从连续时间信号转化为离散时间信号，需要通过抽样来完成，以便计算机和其他系统进行处理。离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。抽样信号()sft可以看成连续信号()ft和一组开关函数()st的乘积()()()sftftst。()st是一组周性窄脉冲，见图4-1，sT称为抽样周期，其倒数1ssfT称抽样频率。0t-4TS-TS0TS4TS8TS12TStF(t)ES(t)AItFS(t)02/112/312/112/312/1(a)(b)(c)图4-1矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。平移的频率等于抽样频率sf及其谐波频率sf2、sf3……。当抽样信号是周性窄脉冲时，平移后的频率幅度按xxsin规律衰减。抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。2.信号恢复正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率nf的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。3.抽样定理抽样定理指出，一个有限频宽的连续时间信号)(tf，其最高频率为m，经过等间隔抽后只要抽样频率s不小于信号最高频率的两倍，即满足ms2，就能从抽样信号)(tfs中恢复出原信号，而mff2min称为最低抽样频率又称“奈奎斯特抽样率”。抽样定理图形解释如下。当msff2时，抽样信号的频谱会发生混叠，从发生混叠后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的。因此即使mff2min，恢复后的信号失真还是难免的。图6-2画出了当抽样频率msff2（不混叠时）当抽样频率msff2（混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。三、实验内容及步骤1.信号的抽样1.1正弦信号的采样（1）参考下面程序，得到50Hz正弦信号在采样时间间隔分别为0.01s、0.002s和0.001时的采样信号。（2）在(1)基础上恢复正弦信号，比较那个采样间隔能较好的恢复原正弦信号。改变几个不同的采样间隔，比较恢复信号。2.抽样信号的恢复设信号sin()()tftSatt，在抽样间隔分别为(1)0.7sT(令1m，1.1cm)(2)1.5sT(令1m，1.1cm)的两种情况下，对信号()ft进行采样，试编写MATLAB程序代码，并绘制出抽样信号波形、由抽样信号得到的恢复信号波形。选取信号sin()()tftSatt作为被抽样的信号，显然，信号的带宽1m。当采样频率2sm时，被称为临界抽样(取cm)。在临界抽样状态下实现对信号()Sat的抽样及由该抽样信号恢复()Sat的参考程序如下：图4-3Sa(t)信号抽样四、实验报告要求1、简述实验目的和实验原理。2、编程实现实验内容要求附上源代码及运行结果图示。3、总结实验中的主要结论、收获和体会。五、实验结果：1.信号的抽样1.1正弦信号的采样(1)参考下面程序，得到50Hz正弦信号在采样时间间隔分别为0.01s、0.002s和0.001时的采样信号。代码：fs=1000;t=0:1/fs:0.2;f0=50;x=sin(2*pi*f0*t);subplot(2,2,1);n1=0:0.01:0.2;plot(t,x);x1=sin(2*pi*f0*n1);subplot(2,2,2);stem(n1,x1);n2=0:0.005:0.2;x2=sin(2*pi*f0*n2);subplot(2,2,3);stem(n2,x2);n3=0:0.001:0.2;x3=sin(2*pi*f0*n3);subplot(2,2,4);stem(n3,x3,'.');(2)在(1)基础上恢复正弦信号，比较那个采样间隔能较好的恢复原正弦信号。改变几个不同的采样间隔，比较恢复信号。代码：f0=50;n1=0:0.01:0.2;x1=sin(2*pi*f0*n1);n2=0:0.002:0.2;x2=sin(2*pi*f0*n2);n3=0:0.001:0.2;x3=sin(2*pi*f0*n3);subplot(3,3,1);stem(n1,x1);subplot(3,3,4);plot(n1,x1);subplot(3,3,2);stem(n2,x2);subplot(3,3,5);plot(n2,x2);subplot(3,3,3);stem(n3,x3);subplot(3,3,6);plot(n3,x3);2.抽样信号的恢复设信号sin()()tftSatt，在抽样间隔分别为(1)0.7sT(令1m，1.1cm)(2)1.5sT(令1m，1.1cm)的两种情况下，对信号()ft进行采样，试编写MATLAB程序代码，并绘制出抽样信号波形、由抽样信号得到的恢复信号波形。代码：（1）wm=1;%信号带宽wc=1.1*wm;%滤波器截止频率Ts=0.7*pi;%抽样间隔ws=2*pi/Ts;%抽样角频率n=-100:100;%时域抽样点数nTs=n*Ts;%时域抽样点f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重构error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(3,1,1);stem(t1,f1);xlabel('KTs');ylabel('f(KTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)临界抽样信号');subplot(3,1,2);plot(t,fa);xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号重构sa(t)');grid;subplot(3,1,3);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('临界抽样信号与原信号的误差error(t)');（2）代码：wm=1;%信号带宽wc=1.1*wm;%滤波器截止频率Ts=1.5*pi;%抽样间隔ws=2*pi/Ts;%抽样角频率n=-100:100;%时域抽样点数nTs=n*Ts;%时域抽样点f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重构error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(3,1,1);stem(t1,f1);xlabel('KTs');ylabel('f(KTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)临界抽样信号');subplot(3,1,2);plot(t,fa);xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号重构sa(t)');grid;subplot(3,1,3);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('临界抽样信号与原信号的误差error(t)');选取信号sin()()tftSatt作为被抽样的信号，显然，信号的带宽1m。当采样频率2sm时，被称为临界抽样(取cm)。在临界抽样状态下实现对信号()Sat的抽样及由该抽样信号恢复()Sat：代码：wm=1;%信号带宽wc=wm;%滤波器截止频率Ts=pi/wm;%抽样间隔ws=2*pi/Ts;%抽样角频率n=-100:100;%时域抽样点数nTs=n*Ts;%时域抽样点f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重构error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(3,1,1);stem(t1,f1);xlabel('KTs');ylabel('f(KTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)临界抽样信号');subplot(3,1,2);plot(t,fa);xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号重构sa(t)');grid;subplot(3,1,3);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('临界抽样信号与原信号的误差error(t)');六、思考题设计一模拟信号)2sin(3)(tftx，采样频率Hzfs5120，取信号频率分别为Hzf150（正常采样）和Hzf3000（欠采样）两种情况进行采样分析，指出哪种发生了混叠现象代码：clcfs=5120;f0=150;n1=0:1/fs:0.02;x1=3*sin(2*pi*f0*n1);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);subplot(2,2,3);plot(n1,x1);f1=3000;n2=0:1/fs:0.02;x2=3*sin(2*pi*f1*n2);subplot(2,2,2);stem(n2,x2);subplot(2,2,4);plot(n2,x2);注：1、实验报告的内容:一、实验目的；二、实验原理；三、实验步骤；四、实验结果；五、讨论分析（完成指定的思考题和作业题）；六、改进实验建议。2、各专业可在满足学校对实验教学基本要求的前提下，根据专业特点自行设计实验报告的格式，所设计的实验报告在使用前需交实践教学管理科备案。