数值分析-第二章-距离空间

第2章距离空间§2.1定义和举例§2.2收敛概念§2.3稠密性与完备性§2.4可分性与列紧性§2.5连续映射在数学分析中研究对象——函数基本工具——极限，是分析理论的基础定义极限的基础——距离在泛函分析中将上述内容推广研究对象——算子、泛函（空间到空间的映射）首先引入度量工具——距离然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理论，进一步对每一个具体空间研究相应的问题。§2.1定义和举例1）定义（距离空间）设X是非空集合，若,,xyXxy按一定规则()0（实数），且满足下列三个条件（距离公理）（1）非负性,,,xyxyxy()0,当且仅当时()0（2）对称性,,xyyx()()（3）三角不等式,zX有(,)(,)(,)xyxzzy则称实数,xy()为元素x与y之间的距离，称X为距离空间或度量空间，记作,XX()或。距离空间中的元素也称为“点”，用“·”表示。距离,()是集合X×X（称为乘积空间或笛卡尔积空间）到实数集合R1上的二元泛函（或称函数）。2）举例例1设R1是非空实数集合，1,Rxy，①若定义,xyxy()，验证知三条距离公理成立，则R1按定义为距离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。③若定义22,xyxy()，验证不满足第三条公理，所以R1按定义2不是距离空间可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不同的距离空间。②若定义11,()xyxyxy，验证知三条距离公理成立，所以，R1按定义1也是距离空间例2设Rn是n维向量全体构成的空间，1212(,,,),(,,,)Rnnnxxxxyyyy定义21,()niiixyxy()证明：Rn在下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。补充不等式1）Minkowski不等式（1）1/1/1/111kkkknnnkkiiiiiiiabab（1k，,iiab为实数或复数）（2）11/1/()()()()kkbbbkkkkaaafxgxdxfxdxgxdx其中(),()fxgx在[,]ab上可积分，1k2）Holder不等式（1）1/1/111pqnnnpqiiiiiiiabab，其中,iiab为实数或复数，111pq。（2）1/1/()()()()pqbbbpqaaafxgxdxfxdxgxdx其中(),()pqfxgx在[,]ab上可积分。特别的p=q=2时,称为Cauchy不等式如果在R2中，定义1122,()dxyxyxy，（1212(,),(,),xxxyyy）验证得知R2按d也是距离空间，但与欧氏空间是不同的度量空间。特别的，当n=1时，,xyxy()，当n=2时，221122,()()xyxyxy()例3设[,]Cab表示定义在[,]ab上的所有连续函数的全体。(),()[,]xtytCab，定义[,](,)max()()tabxyxtyt则[,]Cab在下是距离空间。若1(,)()()baxyxtytdt，则[,]Cab在1下也是距离空间例4设[,](1)pLabP表示[,]ab上p方可积的所有函数的全体，即[,]()()pbpaLabxtxtdt。(),()pxtytL,定义1/(,)()()pbpaxyxtytdt则[,]pLab是距离空间，常称为p方可积的空间。特别的，当p=2时，2[,]Lab称为平方可积的空间。例5设(1)plP是所有p方可和的数列所成的集合，即1{}满足piiixxx，对于1/1{},{}(,)pppiiiiixxyylxyxy,定义，则pl是距离空间，常称为p方可和的空间。特别的，当p=2，2l称为平方可和距离空间。1)定义（收敛点列）设X是一个距离空间，{xn}是X中点列，xX。若,(,)0时nnxx（即0,,,NnN当时(,)nxx）则称点列xn在X中按距离收敛于x，记作lim()nnnxxxxn或此时，称xn为收敛点列，x为xn的极限或极限点。§2.2收敛概念()(,)0nnnxxndxx数列定理1（极限唯一性）在距离空间X中，收敛点列xn的极限是唯一的。定理2（极限存在的有界性）在距离空间X中的收敛点列xn必有界。即00,0,,(,)nnxXrxxxr及实数使得都有定理3（距离的连续性）在距离空间X中，距离,xy()是两个变元,xy的连续泛函。即当00,nnxxyy时00(,)(,)()nnxyxyn2）柯西点列（Cauchy）定义设{xn}是距离空间X中的一个点列，若,(,)0时，nmnmxx（即0,,,,(,)当时nmNnmNxx）则称xn为基本点列或Cauchy点列。0,,0,(,)npnNnNpxx当时，例如：R1中，点列1{}{}nxn是Cauchy列，也是收敛点列。注：R1中有结论：{xn}是收敛数列{xn}是Cauchy数列。但在一般的距离空间中，该结论不成立。定理若{xn}是,X（）中的收敛点列，则{xn}一定是Cauchy点列；反之，Cauchy点列不一定是收敛点列例1在有理数空间Q中，点列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…2Q是Q中的Cauchy点列，但不是收敛点列；证明：设,(,)0nnxx时，(,)(,)(,)nmnmxxxxxx则,,(,)0nmnmxx时。同理，点列1{}{(1)}nnxn是Q中的Cauchy点列，但不是收敛点列。例2设空间X=(0,1)，则点列1{}{}1nxXn按定义,xyxy()是X中的Cauchy列，但在X中不收敛（极限值0(0,1)）。邻域：设E是一个距离空间，,0xE，则子集(,)(,),OxyxyyE称为的邻域。3）距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广）内点、开集：设E是距离空间，子集,,AExA若存在(,)OxA，称x是A的内点。若A中所有的点都是内点，则称A是E中的开集。闭集：设E是距离空间，AE，若A的补集CEAEA为开集，则称A为E中的闭集。极限点（聚点）、导集：设E是距离空间，,AE0xE，若在0(,)Ox内都含有属于A而异于0x的点，则称0x为A的一个极限点（或聚点）。A的极限点的全体称为A的导集。记作A。闭包：A的导集A与A的并集称为A的闭包，记作AAA结论：闭包一定是闭集。A是闭集AAAA§2.3距离空间的完备性与稠密性1）完备性定义（完备性）在距离空间X中，若X中的任一Cauchy点列都在X中有极限，则称X是完备的距离空间。结论：在完备的距离空间中，收敛点列与Cauchy点列是等价的。例1Rn按欧氏距离是完备的距离空间。证：例如R1是完备的，一般的证明见参考书例3距离空间2l和2[,]Lab按通常意义下的距离是完备的。例2有理数空间Q按欧氏距离是不完备的距离空间。例4[,]Cab按[,](,)max()()tabxyxtyt是完备的距离空间；[,]Cab按1(,)()()baxyxtytdt是不完备的距离空间[,]Cab按1/222(,)()()baxyxtytdt是不完备的距离空间2)稠密性定义（稠密性）设X是距离空间，,ABX。若xA，总存在B中的点列xn收敛于x,则称B在A中稠密。（即,{}nxAxB，使limnnxx，即x是B的聚点）例1有理数集Q与无理数集CRQ都在R1中稠密。定理（稠密等价）设,ABX，以下四个命题等价（1）B在A中稠密；（2）BA，即A的任何点都是B或者B的聚点；（3）xA，x的任何邻域(,)Ox中都含有B中的点；（4）0,(,)xBOxA必有。性质：设,,ABCX，若A在B中稠，B在C中稠，则A在C中稠。例2设[,]Pab为实系数多项式全体构成的集合，则()[,]fxCab，必存在[,]Pab中的多项式列()nPx按距离[,](,)max()()tabxyxtyt收敛于()fx。故[,]Pab在[,]Cab中稠密。证明见参考书2例3若2[,]Lab中定义距离1/22(,)()()baxyxtytdt，则[,]Pab，[,]Cab都在2[,]Lab中稠密。3）距离空间的完备化距离空间的完备性在很多方面都起着重要的作用。如何将一个不完备的距离空间扩充为完备的距离空间?这就是距离空间完备化的问题。定义1(映射)已知11(,),(,)RR，如果1一定规律xRyR，则称这个对应关系T是一个由R到R1的映射（或算子），记为yTx定义2(等距映射)设11(,),(,)RR都是距离空间，如果存在一个由R到R1的映射T，使得,xyR，有1(,)(,)TxTyxy则称R与R1是等距空间，（或称等距同构空间），T称为等距映射。RTyR1RxyTx例设Rn是欧氏距离空间，P是n阶正交矩阵，且nRx，TPxx，证明：T是由Rn到Rn的等距映射。证：由已知n,R（列向量），有21,()()()[()][()](,)nTiiiTxyPPPP()故(,)(,)(,)TTPP定理（完备化定理）对于每一个距离空间R，必存在一个完备化的距离空间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并称R0为R的完备化空间，且在等距同构的意义下，R0是唯一的。RR0R1R1QQ例2[,]Cab按距离(,)()()baxyxtytdt是不完备的，但1[,][,]CabLab，且1[,][,]CabLab在中稠密，故1[,]Lab是[,]Cab的完备化距离空间。同理，[,]Cab按距离1/22(,)()()baxyxtytdt的完备化的距离空间为2[,]Lab。例1有理数空间Q与完备实数空间R1中的稠密子空间Q是等距同构的，所以实数空间R1是有理数空间Q的完备化空间。§2.4距离空间的可分性和列紧性定义1(可分性)设(,)R是距离空间，如果存在一个可列子集{xn}，使得{xn}在R中稠密，则称R是可分的（或可析的）距离空间。例1空间Rn是可分的，因为坐标取有理数点的全体构成Rn的可列稠密子集。例2[,]Cab是可分的，因为多项式全体[,]Pab在[,]Cab中稠密，而系数为有理数的多项式全体1[,]Pab在P中稠密，1[,]PPCab，1P是可列集，故[,]Cab可分。同理2[,]Lab是可分的。C[a,b]PP1例3有界数列全体组成的空间的l按定义(,)supiiixyxy是不可分的。其中123123{,,,},{,,,}xxxxyyyy。证：见书上在微积分中闭区间上连续函数性质（如最大最小值性，一致连续性等）的证明，是基于R1中闭区间上的一个重要性质——紧性。所谓紧性就是有界数列必有收敛子列。为了在距离空间中也能像微积分那样来讨论问题，则首先将R1中紧性的概念推广到距离空间定义2(列紧性)设R是距离空间，A是R的子集，（1）如果A的任何点列都有子列在R中收敛，则称A是列紧集（或致密集）（2）如果A是列紧集，又是闭集，则称A是紧集。（3）如果R本身是列紧集（必是闭集），则称R是紧空间。定义3(网)设R是距离空间，,ABR，若0，对于xB，开球(,)ox的全体覆盖了A，即(,)xBoxA，则称B是A的一个网。定义4(完全有界集)设R是距离空间，AR，若对于0，A总存在有限的网，即存