2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第12讲函数模型及其应用课件理

函数、导数及其应用第二章第12讲函数模型及其应用考纲要求考情分析命题趋势1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2016，浙江卷，18T2015，江苏卷，17T2016，四川卷，13T2016，北京卷，1T函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题.分值：5～14分板块一板块二板块三栏目导航板块四•1．三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性单调________函数单调________函数单调________函数增长速度越来越________越来越________相对平稳图象的变化随x值增大，图象与________轴接近平行随x值增大，图象与________轴接近平行随n值变化而不同递增递增递增快慢yx•2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)•1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．•(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．()•(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a0)的增长速度．()•(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()•(4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．()×√×√•解析：(1)错误．当x∈(0,2)和(4，＋∞)时，2xx2，当x∈(2,4)时，x22x.•(2)正确．由两者的图象易知．•(3)错误．增长越来越快的指数型函数是y＝a·bx＋c(a0，b1)．•(4)正确．根据指数函数y＝ax(a1)的函数值增长特点易知．•2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()•A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)•C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)•解析：由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)．B3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则x，y最适合的函数的是()A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D．D•4．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为下图中的()•解析：由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B．B5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．B•解决函数应用问题的步骤•(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．•(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．•(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．•(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．•一二次函数模型【例1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．•二指数函数、对数函数模型•一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制．•【例2】(1)(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()•A．16小时B．20小时•C．24小时D．28小时C•(2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：•①PA≥1；•②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；•③假设科学家将B菌的个数控制在5万，则此时5PA5.5(注：lg2≈0.3)．•则正确的说法为_______(写出所有正确说法的序号)．③解析：(1)由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝4819212＝1412＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24.(2)当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝10105×104＝2×105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.又∵lg2≈0.3，∴5PA5.5，故③正确．•三分段函数模型•(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．•(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【例3】已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝10.8－130x20x≤10，108x－10003x2x10.(1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解析：(1)当0x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－x330－10；当x10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－10003x－2.7x.∴W＝8.1x－x330－100x≤10，98－10003x－2.7xx10.(2)①当0x≤10时，令W′＝8.1－x210＝0，得x＝9，可知当x∈(0,9)时，W′0，当x∈(9,10]时，W′0，∴当x＝9时，W取极大值，即最大值，且Wmax＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x10时，W＝98－(10003x＋2.7x)≤98－210003x·2.7x＝38，当且仅当10003x＝2.7x，即x＝1009时，W＝38，故当x＝1009时，W取最大值38(当1000x取整数时，W一定小于38)．综合①②知，当x＝9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．四函数y＝x＋ax(a0)模型函数y＝x＋ax(a0)在[－a，0)和(0，a]上单调递减，在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增(函数单调性定义法、导数方法均可证明)，如图所示，函数图象无限趋近于直线y＝x，但永不相交．当a在函数的定义域内时，可以使用基本(均值)不等式求最小值，当a不在函数的定义域内时，根据函数的单调性求最小值．【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解析：(1)由已知得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥26x＋10·8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．•1．李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16000，L2＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为()•A．11000元B．22000元•C．33000元D．40000元•解析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，所以当x＝60时，有最大利润33000元，故选C．C•2．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为()•A．3000元B．3800元•C．3818元D．5600元•解析：根据题意，若稿费为4000元，则纳税部分是3200元，纳税3200×14%＝448(元)，超过了420元，所以他的稿费不足4000元．根据题意可知其稿费应该为420÷14%＋800＝3800(元)，故选B．B•3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为()•A．3B．4•C．5D．6C解析：由题图，易求得y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋11，yx＝12－x＋25x≤12－10＝2，∴yx有最大值2，此时x＝5.•4．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，