数学建模-安全行车距离

2013-2014（2）建模实践论文题目：安全行车距离队员1：顾可人，0918180227队员2：范榕，0918180228队员3：金重阳，0918180226建模实践论文成绩考核表学生姓名顾可人专业班级R数学09-227学生姓名范榕专业班级R数学09-228学生姓名金重阳专业班级R数学09-226题目安全行车距离评审者考核项目评分（每项满分20分）1上课态度与遵守纪律的情况2完成任务的情况与水平（工作量）3论文质量（正确性、条理性、创造性和实用性）4技术水平（理论、分析、计算、验证以及创新性）5论文答辩（讲述的条理性、系统性，回答问题的正确性）总评成绩总评成绩等级（优、良、中、及格、不及格）指导教师签字：摘要随着高速公路的发展和个人汽车拥有量的增大,高速公路交通事故量也随之增加。在诸多高速公路交通事故中,汽车追尾事故就占30%一60%,并且它造成的损失占高速公路交通事故急损失的60%。从而可见避免高速公路追尾事故的发生是我国急需解决的重要问题。导致高速公路追尾交通事故的主要原因是驾驶员未能保持安全的车间距离,所以预防高速公路追尾事故的有效措施之一,就是发明以高速公路最小安全行车车间距离数学模型为基础的高速公路追尾碰撞预防报警系统。我们将应用初等方法，揭示在公路上驾驶司机应该选择刹车的最佳时间和最佳距离。控制车距的影响因素：反应时间，车速，车身重，路面状况等。此模型将回答2S法则适不适用的问题，提供了司机在行驶中应注意的各种事项，有利于交通的安全与便捷。司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到汽车完全停止住汽车行驶的离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。就要对刹车距离与车速进行分析，它们之间有怎样的数量关系？正常的驾驶条件对车与车之间的跟随距离的要求是每10英里的速率可以允许一辆车的长度的跟随距离，但是在不利的天气或道路条件下要有更长的跟随距离。做到这点的一种方法就是利用2秒法则，这种方法不管车速为多少，都能测量出正确的跟随距离。看着你面前的汽车刚刚驶过的一个高速公路上涂油柏油的地区或立交桥的影子那样的固定点。然后默数“一千零一，一千零二”，这就是2秒。如果你在默数完这句话前到达这个记号，那么你的车和前面的车靠的太近了。上述的方法做起来很容易，但是，它只是一个粗略的、模糊的判断，而且在一些意外情况它是没用的。我们需要是用更多的细节并清楚地解决和说明问题，这时我们需要对它做一个科学的数学分析和数学建模来应对各种可能的问题。关键词：安全行车，反应距离，刹车距离，车速一、问题重述在中国,高速公路既限制最低车速(50km/h),又限制最高车速(110km/h),加之高速公路本身的结构特点,使行车速度可控制在一定的范围内,又排除了横向交通的干扰,我们把这种交通条件称为理想的交通条件,即在同一条车道上,同向行驶的车辆以相同的速度、连续不断地行驶,各车辆之间保持着一定的车头间距,构成了一种稳定交通流。如果跟随车辆的车头间距过小,则容易发生追尾碰撞事故;如果车头间距过大,又会影响道路的通行能力。所谓行车安全距离就是指在同一条车道上,同向行驶前后两车间的距离(后车车头与前车车尾间的距离),保持既不发生追尾事故,又不降低道路通行能力的适当距离。美国的某些司机培训课程中有这样的规则:在正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身长度。又云，实现这个规则的一种简便方法是所谓“2秒规则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2秒规则”与上述规则是否一致？是否有更好的规则？并建立刹车距离的模型。汽车在10英里/小时（约16千米/小时）的车速下2秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10英里/小时*5280英尺/英里*1小时/3600秒*2秒=29.33英尺（=8.94米），远远大于一个车身的平均长度15英尺（=4.6米），所以“2秒准则”与上述规则并不一样。所以我们还要对刹车距离与速度做更仔细的分析，通过各种分析（主要通过数据分析）以及各种假设，我们提出了更加合理的准则，即“t秒准则”。在道路上行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的，人们为此提出各种五花八门的建议，就上面的“一车长度准则”，“2秒准则”以及我们提出的t秒准则。这些准则的提出都是为了怎样的刹车距离与车速的关系来保证行驶的安全。所以为了足够安全要做仔细的分析。二、模型分析制定这样的规定是为了在后车急刹车情况下不致撞到前面的车，即要确定汽车的刹车距离。刹车距离显然与车速有关，先看看汽车在10英里/小时（约16千米/小时）的车速下2秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10英里/小时*5280英尺/英里*1小时/3600秒*2秒=29.33英尺（=8.94米），远远大于一个车身的平均长度15英尺（=4.6米），所以“2秒准则”与上述规则并不一样。为了判断规则的合理性，需要对刹车距离做教仔细的分析。一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其他很多因素会影响刹车距离，包括车型,车重，刹车系统的机械状况，轮胎类型和状况，路面类型和状况，天气状况，驾驶员的操作技术和身体状况等。刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶的距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况(灵巧、机警、视野等)和制动系统的灵敏性(从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间)，对于一般规则可以视反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。制动距离与制动器作用力(制动力)、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个能量耗散装置，制动力作的功被汽车动能的改变所抵消．设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数，这样，司机和乘客少受剧烈的冲击．至于道路、气候等因素，对于一般规则又可以看作是固定的问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系。为了建立刹车距离与车速之间的函数关系，需要提出哪几条合理的简化假设呢？可以假设车型，轮胎类型，路面条件都相同；假设汽车没有超载；假设刹车系统的机械状况，轮胎状况，天气状况以及驾驶员状况都良好；假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向。这些假设都是为了使我们可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响。这些假设是初步的和粗糙的，在建模过程中，还可能提出新假设，或者修改原有假设。我们仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段：在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车系统开始起作用，汽车在反应时间行驶的距离称为“反应距离”；在第二阶段，从刹车踏板被踩下，刹车系统开始起作用，到汽车完全停止，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离称为“制动距离”。模型建立：V——车辆行驶速度（米/秒）T——制动所需要的时间(秒)m——车辆质量即车辆重量（千克）S——距离（米）a——车辆制动后的加速度，可以测量驾驶员做出反应有一个时间T1,根据速度与位移的公式得到一个反应距离为：11SVT根据力学牛顿定律和能量守恒定律：Fma22/2FSmV可知，制动后的制动距离为：22/2smVa总的刹车滑行距离就为：12SSS模型假设：（1）测量数据m与a真实可靠,前面的车采取通用的车辆行驶速率和车辆长度。（2）忽略天气、路面和车辆性能等原因。（3）驾驶员的反应时间正常。（4）制动过程持续无意外。三、模型建立及求解问题：安全行车距离随着人们生活水平的不断提高，马路上行驶的车辆也越来越多，交通事故的发生也在不断提高。针对严重的道路交通情况，为了保障人民的生命安全，在遇到紧急情况时就需要司机能够迅速停下车辆，避免交通事故发生。安全行车距离是指在车辆行驶过程中两辆车之间必须保持的最小距离，以免在紧急刹车时两辆车相撞。1．请你参考已知的数据（或自己收集资料）建立让车辆停止的安全距离的数学模型。结合1的模型，给出速度是40公里/小时和80公里/小时的安全行车距离。附件.观察到的反应距离和刹车距离速度（英里/小时）司机的反应距离（英尺）刹车距离（英尺）202218-225055105-1316572196-2458088334-418252825-31353947-585561132-1657077237-295303336-45455082-1037583283-3536066162-202404464-80识别问题：同一车道前后跟随两车在行驶中,当前车制动时,其制动信号灯可能被后车及时发现,也可能未被后车及时发现,在这两种情况下的行车安全距离肯定是不一样的。在计算行车安全距离时,我们认为驾驶员都是在注意力集中的情况下驾驶车辆的。如果前车突然制动停车,后车即时发现前车制动信号灯亮后随之制动,并以不撞上前车、且停车后与前车保持5m间距为前提来确定其行车安全距离。行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离就叫刹车距离。研究刹车距离对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用。据此建立车辆的停止距离模型。假设和变量首先对此问题提出总模型：总的停止距离=反应距离+刹车距离反应距离：从司机意识到要停车的时刻到正真刹车的时刻所走过的距离。刹车距离：刹车后使车完全停下来所滑行的距离。首先对反应距离研究一个子模型。反应距离是许多变量的函数，从列出其中的两个变量开始：反应距离=f（反应时间，速率)反应时间既受个体驾驶因素也受车辆操作系统的影响。系统时间就是从司机接触到刹车踏板到刹车从机械上起作用之间的时间。对于现代的车辆来说，大概可以忽略系统时间的影响，因为比之与人的因素，它是相当小的。不同司机的反应时间取决于诸如反射的本能、警觉程度和能见度等许多事情。现在假设从司机决定需要停车到刹车起作用的时间里车辆继续以常速行驶，在这个假设下反应距离d只是反应时间t和速度v的乘积：dtv画出测量得到的反应距离对速度的图形：图1反应距离和速度的比例性我们可以画出司机反映距离对速度的图形，如图1所示，这个图形是一条经过原点的直线。取直线上的两点，即可计算出它的斜率，18333/753050/451.1k（）,即：r1.1vd。其次考虑刹车距离，车辆的重量和速率肯定是要考虑的重要因素。刹车的效率、车胎的类型和状态、道路表面的情况以及天气条件是其他合理的因素。和前面一样，我们最可能假设后面这些因素的平均值和条件。因此最初的子模型就给出了刹车距离作为车辆重量和速率的函数：刹车距离=h（重量，速率）假定是慌慌张张地停车而且在整个停车过程中作用的是最大的刹车力F。且假定忽略车胎、道路表面情况及天气条件因素。在上述情况下刹车过程车做的就是匀减速运动，由运动学公式2202tadvv及牛顿定律maF得：2020Fdmv接着，我们再考虑力F和车的质量是怎样的关系。合理的设计准则应该是按以下的方式来制造车辆，即不管车的质量为多少，当作用上最大的刹车力时，减速时是不变的。而且，在整个紧急刹车过程中力是不变的。因此得到比例关系：2dv然后检验刹车距离的子模型。首先画出题中给出的刹车距离对v的平方的图形，如图2所示。图2刹车距离和速度平方的关系图然后，我们需要求2k，求2k需要用图形为数据拟合模型。图2中的每个点可以看成一个区间，以正负偏差、误差值4%设置数据的格式，如图3所示。对数据图形地拟合一条直线，估计其斜率：2266/49000.054k，即2b0.054vd图3刹车距离和速度平方的比例性由上述司机反映距离和刹车距离的模型可得总停止距离d的模型：21.1v0.054vd。四、模型综合评定模型的预测值以及题中记录的实际观察到的总停止距离填在表中：速率（英里/小时）观察到的总停止距离(英尺）模型预测值（英尺）204243.6255661.253073.581.63591.5104.6540116130.445142.5158.855017319055