《金融数学》(第二版)练习题(修订版)

1孟生旺《金融数学》（第二版）练习题(2011.1.10修订)第1章利息度量1.1现在投资$600，以单利计息，2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在3年后的累积值。1.2在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和，等于在第T月末支付1004元的现值。年实际利率为5%。求T。1.3在零时刻，投资者A在其账户存入X，按每半年复利一次的年名义利率i计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入2X，按利率i（单利）来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求i。1.4一项投资以δ的利息力累积，27.72年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的名义利率δ累积n年，累积值将成为7.04。求n。1.5如果年名义贴现率为6%，每四年贴现一次，试确定$100在两年末的累积值。1.6如果()0.1844144mi=，()0.1802608md=，试确定m。1.7基金A以每月复利一次的名义利率12%累积。基金B以tδ=t/6的利息力累积。在零时刻，分别存入1到两个基金中。请问何时两个基金的金额2将相等。1.8基金A以tabtδ=+的利息力累积。基金B以tghtδ=+的利息力累积。基金A与基金B在零时刻和n时刻相等。已知0ag，0hb。求n。1.9在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率δ支付利息。从t=2开始，利息按照11ttδ=+的利息力支付。在t=5时，存款的累积值为260。求δ。1.10在基金A中，资金1的累积函数为t+1，t0；在基金B中，资金1的累积函数为21t+。请问在何时，两笔资金的利息力相等。1.11已知利息力为21ttδ=+。第三年末支付300元的现值与在第六年末支付600元的现值之和，等于第二年末支付200元的现值与在第五年末支付X元的现值。求X。1.12已知利息力为3100ttδ=。请求1(3)a−。1.13资金A以10%的单利累积，资金B以5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。1.14某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资1年，在上半年的名义利率为5%（每半年复利一次），全年的实际利率为7%，试确定δ0.5。1.15某投资者在时刻零向某基金存入100，在时刻3又存入X。此基金按利息力2100ttδ=累积利息，其中t0。从时刻3到时刻6得到的全部利息为X，求X。1.16一位投资者在时刻零投资1000，按照以下利息力计息：30.02030.0453ttttδ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，求前4年每季度复利一次的年名义利率。1.17已知每半年复利一次的年名义利率为7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。1.18假设利息力为2,051,51025tkttkttδ≤⎧⎪=⎨≤⎪⎩，期初存入单位1在第10年末将会累积到2.7183。试求k。1.19已知利息力为12ttδ=+，一笔金额为1的投资从0t=开始的前n年赚取的总利息是8。试求n。1.201996年1月1日，某投资者向一个基金存入1000，该基金在t时刻的利息力为20.1(1)t−，求1998年1月1日的累积值。1.21投资者A今天在一项基金中存入10，5年后存入30，已知此项基金按单利11%计息；投资者B将进行同样数额的两笔存款，但是在n年后存入10，在2n年后存入30，已知此项基金按复利9.15%计息。在第10年末，两基金的累积值相等。求n。1.22已知利息力为21ttδ=−，2≤t≤10。请计算在此时间区间的任意一年内，与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。第2章等额年金2.1某人想用分期付款的方式购买一辆现价为10万元的汽车，如果他首期支付一笔款项后，在今后的5年内每月末付款2000元即可付清车款。假设每月复利一次的年名义利率为8%，试计算他在首期付款的金额为多少。42.2某人将在10年后退休。他打算从现在开始每年初向一种基金存入2000元，如果基金的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金。2.3某人从2000年3月1日起，每月末可以领取200元，2010年5月末是最后一次领取。如果每月复利一次的年名义利率为6%，试计算：（1）年金的现值；（2）年金的终值；（3）年金在2005年12月31日的值。2.4某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10000元。从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。（1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？（2）如果无限期地领下去（当他死亡后，由其继承人领取），每次可以领取多少？2.5某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果年实际利率为8%，试计算三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额？2.6如果年实际利率为i，那么一笔在36年内每年末支付4000元的年金，与另一笔在18年内每年末支付5000元的年金将有相等的现值。试计算1000元的投资在年实际利率为i时，经过多长时间可以翻番。2.7借款人原计划在每月末偿付1000元，用5年的时间还清贷款。每月复利一次的年名义利率为12%。如果他现在希望一次性支付60000元还清贷款，他应该在何时偿还？2.8投资者每月初往基金存入一笔款项，5年后可以积存到60000元。如果前2年每次存入1000元，后3年每次存入500元。试计算每月复利一次的名义利率。2.9投资者每年末向一基金存入2000元，如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算，在后两年的投资按5%的年实际利率计算，投资者在第4年末可以积存多少价值？2.10一项10年期的年金，在前5年的每季度末付款1000元，后5年的每季度末付款2000元。如果年实际利率为5%，试计算该项年金的现值。2.11一项每3年末支付1元的永续年金，其现值为125/91，试确定年实际利率是多少？2.12某人将一笔遗产（每年末可以领取的永续年金）捐赠给了四家慈善机构A，B，C和D。在前n年，每次领取的款项由A、B、C三家平均分享，n年以后，剩余部分均由D领取。试确定当(1+i)n为多少时，A、B、C、D四家在该遗产中享有的现值相等。假设年实际利率为8%。2.13一项永续年金在每月初付款1元，如果每年结转四次利息的年名义利率为4%，试计算该项年金的现值。52.14一项永续年金在每月初付款1000元，另一项永续年金在每季度末付款3020元。当年实际利率为多少时，这两项年金具有相同的现值。2.15假设一笔10000元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还1000元，直至还清为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1000元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。2.16一项年金从2000年1月1日开始，每月末支付100元，支付60次；这项年金的价值等价于在第K月末支付一笔6000元的款项。每月复利一次的名义利率为12%。求k。2.17如果nax=，2nay=，试将d表示为x和y的函数。2.18一位受益人获得了一笔人寿保险金，如果用这笔收入去购买一项10年期的期末付年金，每年末的付款为$1538；如果购买20年期的期末付年金，则每年末的付款为$1072。两者的年实际利率均为i，求i。2.19建立一个基金，在前两年每季度之初存入100，其后两年每季度之初存入200，若基金的名义利率为12%，每月复利一次。请计算第四年末的累积值为多少？2.20每半年复利一次的名义利率为i，每两年末支付1元的永续年金的现值是5.89。试计算利率i。2.21某人以年实际利率4%借款100元，并承诺分30次付清，后二十次的付款是前十次的2倍。在第十年末，他可以选择一次性付清全部剩余款项X，这会使借款人在十年间获得的年实际利率为4.5%，求X。2.22投资者在t=0和t=10时分别向一项基金投资12，这项基金以年实际利率i计息。利息在年末支付，并以0.75i的年实际利率进行再投资。在t=20时，再投资利息的累积值为64，求i。2.23如果利息力为常数11tδ=+，求na的表达式。批注:第二版书稿中有错62.24给定利息力110.5tδ=+，0≤t≤5，请计算5s。2.25已知80d100tat=∫。请计算10a。2.26如果)2(|1)2(|2)2(|4523saann==，试计算i是多少？2.27当t为多少时，在时刻t支付1元相当于将这1元在时刻0与1之间连续支付？2.28已知4na=，12ns=，求利息力。2.29证明下列关系式：（1）mmnmnaaav+=+（2）(1)mmnmnssis+=++（3）(1)0nmnmnaaisnm−=+−（4）(1)0mmnmnssainm−=−+（5）101010111()1svsi=+−（6）15161010()6tttssss=−=−−∑（7）|)(||)(||nmnnmnnaaaaa，其中m1。（８）23221nnnnnnssssss+−=7（９）()11nndaiaδ−⎛⎞−+=⎜⎟⎝⎠第3章变额年金3.1某投资者在三十年内，每年年末向银行投资1。银行在每年末以年利率j支付利息。投资者所得利息立即被再投资，再投资利率为年实际利率2j。这些利息在三十年之间的积累值为72.88。求j。3.2某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？3.3一项永续年金在第一年末支付1，第二年末支付2。这样增加下去直至第n年末支付n，然后一直维持每年支付n，试确定此项年金的现值。3.4一项永续年金在第四年初支付2，第六年初支付4，第八年初支付6，第十年初支付8，年实际利率为10%，计算其现值X。3.5在年实际利率为i时下列两项年金的现值均为X：年金A在每年末支付55，支付20年；年金B支付30年期，其中前10年每年末支付30，中间10年每年末支付60，最后10年每年末支付90。求X。3.6一项9年期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,4,3,2,1，第一次支付在第二年末，当年实际利率为i时该年金的现值为22。一项10期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,5,4,3,2,1,第一次支付在第一年末，计算该年金在年实际利率i下的现值。3.7一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？3.8一项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增长10%，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值是多少？83.9一项期末付年金，每半年的付款为800，750，700，…，350，(2)0.16i=。若100.08aA=，试写出此年金的现值表达式（用A表示）。3.10一项永续年金，第5年和第6年末的付款为1，第7年和第8年末的付款为2，第9年和第10年末的付款为3，如此下去。计算其现值。3.11一项永续年金，从今日开始每6个月付款一次。第1次付款1，以后每次均比前次增加3%。若年实际利率为8%，试确定此项年金的现值。3.12一项永续年金，每四年末付款一次。第一次付款在第四年末，付款额为1。接下来的每一次付款都比上一次多5。请计算这项永续年金的现值，已知40.75v=。3.13小张在第一年的每个季度初存款1，第二年的每季度初存款2，以此类推，第八年的每季度初存款8。假设年实际利率为8%。在最后一笔存款之后的一个季度末，小张取出这项存款用于购买一项每年末均支付X的永续年金。计算X。3.14小张选择如下方式获得他的20年期退休金：从现在开始一个月后每月领取2000，月度退休金每年增加3%，每月复利一次的年名义利率为6%。计算该项退休金的现值。3.15每年初向基金中投入一笔资金，持续10年。前5次投资金额均为1000，从第6次开始以后每年递增5%。若基金的实际利率为8%，试确定第1