离散序列傅里叶变换习题

11、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(3)xnn（2）211()(1)()(1)22xnnnn（3）3()(),01nxnauna（4）4()(3)(4)xnunun2、设()jXe是序列()xn的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。（1）()()(1)gnxnxn（2）()*()gnxn（3）()*()gnxn（4）()(2)gnxn（5）()()gnnxn（6）2()()gnxn（7）(),()20,nxngnn为偶数为奇数3、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(),||1nxnauna（2）2()(),||1nxnauna（3）||3,||()0,nanMxnn为其他（4）4()(3),||1nxnauna（5）501()()(3)4nmxnnm（6）6sin(/3)sin(/4)()nnxnnn24、设()xn是一有限长序列，已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,nxnn为其他它的离散傅里叶变换为()jXe。不具体计算()jXe，试直接确定下列表达式的值。（1）0()jXe（2）()jXe（3）()jXed（4）2|()|jXed（5）2()||jdXedd5、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）11,||()0,nNxnn为其他（2）21||/,||()0,nNnNxnn为其他（3）3cos(),||()20,nnNxnNn为其他6、证明：若()jXe是序列()xn的离散时间傅里叶变换，而1(),()0,nnxxnkk为整数其他则1()()jjXeXe。7、设序列()()xnun，证明()xn的离散时间傅里叶变换为1()(2)1jjlXele8、如图所示四个序列，已知序列1()xn的离散时间傅里叶变换为1()jXe，试用1()jXe表示其他序列的离散时间傅里叶变换。32n1341()xn1234056782n1342()xn12340567821342n1343()xn12340567821342n1344()xn12340567821349、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即221|()||()|2jnxnXed10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即()[()]jdXeDTFTnxnjd式中，()jXe是序列()xn的离散时间傅里叶变换。11、证明：（1）若()xn是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()jXe是的实偶函数。（2）若()xn是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()jXe是的虚奇函数。12、设4()()xnRn，试求()xn的共轭偶对称序列()exn和共轭奇对称序列()oxn，并分别画出其波形。13、设实序列()xn的偶对称序列1()[()()]2exnxnxn，奇对称序列1()[()()]2oxnxnxn，试证明222|()||()||()|eonnnxnxnxn14、设实序列()xn的波形如图所示，42n46()xn12340（1）试求()xn的共轭偶对称序列()exn和共轭奇对称序列()oxn，并分别画出其波形。（2）设序列1()()()eoxnxnxn，式中，()exn和()oxn为（1）所求结果。画出1()xn的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？（3）分别求序列()xn、()exn和()oxn的离散时间傅里叶变换()jXe、()jeXe和()joXe，分析()jXe、()jeXe和()joXe的实部Re{()}()jjRXeXe、虚部Im{()}()jjIXeXe的关系。15、已知序列()()(01)nxnauna，试分别求()xn的共轭偶对称序列()exn和共轭奇对称序列()oxn的离散时间傅里叶变换()jeXe和()joXe。16、若序列()xn是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()jXe的实部()jeXe为()1cosjRXe求序列()xn及其离散时间傅里叶变换()jXe。17、若序列()xn是实因果序列，(0)1x，已知其离散时间傅里叶变换()jXe的虚实部()jIXe为()sinjIXe求序列()xn及其其离散时间傅里叶变换()jXe。18、如果()xn是实序列，试证明*()()jjXeXe19、设()xn是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为()jXe，若序列()yn的离散时间傅里叶变换为221(){()][()()]2jjjYeDTFTynXeXe试求序列()yn。5离散时间傅里叶变换习题解答：1、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(3)xnn解：3()jjXee（2）211()(1)()(1)22xnnnn解：()1cosjXe（3）3()(),01nxnauna解：1()1jjXeae（4）4()(3)(4)xnunun解：771111()1coscos2cos32221jjjaeXeae2、设()jXe是序列()xn的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。（1）()()(1)gnxnxn解：()(1)()jjjGeeXe（2）()*()gnxn解：()*()jjGeXe（3）()*()gnxn解：()*()jjGeXe（4）()(2)gnxn解：()()jjnnGexne(2)jnnxne令'2nn，'2'()(')jnjnGexne为偶数21[()(1)()]2jnnnxnxne62211()()22jjnjnnXexnee()22211()()()22jjjnjnnXeXexnee（5）()()gnnxn解：()()jdXejnxnd()()jjdXeGejd（6）2()()gnxn解：1()()*()2jjjGeXeXe（7）(),()20,nxngnn为偶数为奇数解：()()jjnnGexne22()()jmjmxmeXe3、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(),||1nxnauna解：1()1jjXeae（2）2()(),||1nxnauna解：11()1jjXeae（3）||3,||()0,nanMxnn为其他解：()()12Re[]MMjjnnjnnjnnnMnMXexneaeae1221coscos[(1)]cos2Re[]12112cosMMMnjnnMaaMaMaeaa212212cos[(1)]2cos12cosMMaaMaMaa（4）4()(3),||1nxnauna33(3),||1naauna解：3311()1jjjXeaeae7（5）501()()(3)4nmxnnm301()(3)4mmnm解：3333300111()()()(3)()1441()4jjnmjnmjmjnnmmXexnenmeee（6）6sin(/3)sin(/4)()nnxnnn1sin(/3)sin(/4)12/3/4nnnn解：2sin()()ccccngn232sin(/3)sin(/4)3()4()/3/4nnggnn2321()()*()2jXegg10()12477()[()]/2()/2121212412jjXeXe1,0412()77()/2,121212jXe4、设()xn是一有限长序列，已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,nxnn为其他它的离散傅里叶变换为()jXe。不具体计算()jXe，试直接确定下列表达式的值。（1）0()jXe解：()()jjnnXexne500()()1jnXexn8（2）()jXe解：()()jjnnXexne50()(1)()1jnnXexn（3）()jXed解：1()()2jjnxnXeed()2(0)2jXedx（4）2|()|jXed解：221|()||()|2jnxnXed22|()|2|()|2(14941)38jnXedxn（5）2()||jdXedd解：()()jdXejnxnd22()||2|()|2(01149916425)2174348jndXedjnxnd试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）11,||()0,nNxnn为其他（2）21||/,||()0,nNnNxnn为其他（3）3cos(),||()20,nnNxnNn为其他6、证明：若()jXe是序列()xn的离散时间傅里叶变换，而1(),()0,nnxxnkk为整数其他则1()()jjXeXe。97、设序列()()xnun，证明()xn的离散时间傅里叶变换为1()(2)1jjlXele8、如图所示四个序列，已知序列1()xn的离散时间傅里叶变换为1()jXe，试用1()jXe表示其他序列的离散时间傅里叶变换。9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即221|()||()|2jnxnXed10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即()[()]jdXeDTFTnxnjd式中，()jXe是序列()xn的离散时间傅里叶变换。11、证明：（1）若()xn是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()jXe是的实偶函数。（2）若()xn是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()jXe是的虚奇函数。12、设4()()xnRn，试求()xn的共轭偶对称序列()exn和共轭奇对称序列()oxn，并分别画出其波形。13、设实序列()xn的偶对称序列1()[()()]2exnxnxn，奇对称序列1()[()()]2oxnxnxn，试证明222|()||()||()|eonnnxnxnxn14、设实序列()xn的波形如图所示，（1）试求()xn的共轭偶对称序列()exn和共轭奇对称序列()oxn，并分别画出其波形。（2）设序列1()()()eoxnxnxn，式中，()exn和()oxn为（1）所求结果。画出1()xn的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？（3）分别求序列()xn、()exn和()oxn的离散时间傅里叶变换()jXe、()jeXe和()joXe，分析()jXe、()j