力矩力偶与平面力偶系

1第三章力矩、力偶与平面力偶系本章内容:1力对点的矩2合力矩定理3力偶与力偶矩的概念4力偶的性质5平面力偶系的合成6平面力偶系的平衡2第一节力对点的矩力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。一、平面力对点的矩（力矩）AFBd1、力矩的定义()OMFdF()2OOABMAFd——力臂O——矩心“＋”——使物体逆时针转时力矩为正；“－”——使物体顺时针转时力矩为负。MO（F）——代数量力矩的单位为（牛顿·米）。Nm32、力矩的性质（1）力沿作用线移动时，对某点的矩不变;（2）力作用过线矩心时，此力对矩心之矩等于零;（３）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。（1）大小：力与力臂的乘积（2）方向：转动方向3、力矩的两个要素4力矩与合力矩的解析表达式12()()()()()OROOOnOiMMMMMFFFFF二、合力矩定理定理：平面汇交力系合力对于平面内任一点之矩等于其各分力对于该点之矩的代数和。()()()sincosOOyOxyxMMMxFyFxFyFFFFR()()FOiyiixiMxFyFyOxFyFxyAxF5例3-1如图所示，，，。试分别求F1、F2对A点的矩。2100kNF150kNF6mAB解：力F1使杆AB绕A点逆时针转动C30AB1F2F11()506kNm300kNmAMFABF22()1003kNm300kNmAMFACF力F2将使AB杆绕A点顺时针转动6解：（1）根据定义求MA(F)例3-2简支刚架如图所示，已知F、a、b和。试计算F对A点的矩。CdxFyFFDEBabAsin()sin(cot)sinsincosdAEADEDabab()sincosAMFdFaFbF（2）利用合力矩定理求MA(F)()()()sincosAAxAyxyMMMFbFaFaFbFFF7例3-3如图所示，已知大圆轮半径为R，小圆轮半径为r，在小圆轮最右侧B点处受一力F的作用。试计算力F对大圆轮与地面接触A点的矩。ABxFyFOF解：由于F对点A的力臂不易确定，故先将力F分解为两个正交分力Fx与Fy，然后利用合力矩定理来求出F对点A的矩()()()(sincos)AAxAyyxMMMFrFRFrRFFF8补充例题，水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。已知：q，l；试求合力及合力作用线的位置。ABqxlR01d2xFqqllxqlxqxxdxxqhxABqlFR解：在距A端为x的微段dx的梁上，作用力的大小为qx，由相似三角形关系可知因此分布载荷的合力大小9lxxxqhF0Rdlh32设合力F的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有将qx和FR的值代入上式，得合力大小等于三角形分布荷载的面积;合力作用线通过三角形的几何中心。xdxxqhxABqlFR10一、力偶第二节力偶和力偶矩FF,由两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系，记作力偶——力偶作用面——力偶中两力所在平面。力偶臂——力偶中两力作用线之间的垂直距离。dFdF11ABCdFM2二、力偶矩力偶矩——力偶对其作用面内任一点之矩，以表示，一般简记为M。()M，FF正负：逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩的单位为（牛顿·米）。Nm（1）大小：力与力偶臂的乘积（2）方向：转动方向力偶矩的两个要素121、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。2、力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应;力偶的两个力在任一坐标轴上投影的代数和均为零；力与力偶是静力学的二基本要素。三、力偶的性质FFOdx()OOMMFxdFxFdMFF由于矩心O是任取的，因此，力偶矩与矩心的位置无关。133、平面力偶等效定理:作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充分且必要条件为其力偶矩相等。推论(1)力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用效应。推论(2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。M14力偶与力矩的区别和联系1、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于矩心，与矩心的位置有关。2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。3、力偶是一个基本的力学量，力矩只是力使物体绕某点转动效应的度量。4、力偶矩与力矩量纲相同。15ABdF44FF33F1FF1d1F22Fd2ABFFd1113MdFdF2224MdFdF4343FFFFFF1234)(MMdFFFdM一、平面力偶系的合成第三节平面力偶系的合成与平衡作用在物体同一平面内的若干个力偶所组成的力系。平面力偶系——160iM平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即力偶系平衡的充要条件是：合力偶矩等于零,即力偶系各力偶矩的代数和等于零平面力偶系的平衡方程inMMMMM21二、平面力偶系的平衡17例3-4已知梁长，；若不计梁的自重，试求支座A、B的约束力。100kNmM5ml解：（1）选梁AB为研究对象MAlBAFBFAlMB（2）画受力图（3）列平衡方程0,0iAMFlM100kN20kN5BAMFFl解得：FA、FB为正值，说明图中的假设方向是正确的。18解：（1）选工件为研究对象例3-5如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力偶的矩分别为、；固定螺柱A和B的距离。若不计摩擦，试求两个固定螺柱所受到的力。320NmM1210NmMM200mmlAFBFA1M2M3MlBA1M2M3MlB（2）画受力图（3）列平衡方程0,M1230AFlMMM19解得：1233101020Nm200N20010mABMMMFFl两个螺柱A、B所受到的力与螺栓对工件的约束力FA、FB,为作用力与反作用力的关系，即分别与FA、FB大小相等，方向相反。20例3-6如图所示，在直角折杆AB上作用一矩为M的力偶。若不计各构件自重，试求支座A和C的约束力。解：（1）选AB为研究对象BFCFBCBFAFMBA2aaaaACBM（2）画受力图（3）列平衡方程0,220AMaFM24AMFa解得：24CAMFFa（方向如图所示）（方向如图所示）21例3-7在图所示机构中，套筒A穿过摆杆O1B，用销子连接在曲柄OA上。已知OA长为r，其上作用有矩为M1的力偶。在图示位置，，机构平衡，试求作用于摆杆O1B上的力偶矩M2(各构件的自重不计)。30解:(1)分别选曲柄OA（包括套筒）、摆杆O1B为研究对象。（2）画受力图OA（包括套筒）摆杆O1B22210AMFOA注意到，、，1sin30OAOAAAFF0,M曲柄OA：（3）列平衡方程1sin300AMFOA摆杆O1B：0,M214MM解得: