二次函数与特殊三角形问题

二次函数与特殊三角形----等腰、直角三角形存在探究问题中考考情回顾：该题型一般都是考查二次函数与三角形、四边形、圆结合的存在探究问题。设问一般都是3问，常涉及以下题型：1、求抛物线的解析式2、求点的坐标。3、探究几何图形的面积最值问题及等量关系问题。4、探究特殊几何图形的存在性问题。5、判断直线与圆的位置关系等。二次函数与特殊三角形----等腰、直角三角形存在探究问题复习回顾11221A,).(,)AB=xyBxy、两点间的距离公式：（，则222121-)+(-)xxyy（2、等腰三角形和直角三角形的性质及相关定理1、如图，O为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得与O点，D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画多少个?并求出P点坐标.ＤxOy自主学习：①当OD=OP时P1P2xyＤO①利用两腰相等②当DO=DP时P3xyＤOB②利用“三线合一”③当PO=PD时xyＤOP4E③利用图形相似或勾股定理或等腰三角形性质F两圆一线222543ODOP)0,5(),0,5(21PP4OBPB3(8,0)P525,28OPOEOEOPODOF，425,08P22,0)(4-)325825,08PaaaaP法二：设（，则2、已知：O为坐标原点，A(2,4),点P是直线x=3上一动点，当△AOP是直角三角形，则符合条件的点P有几个？A03A03P1P2P3P4两线一圆求作等腰三角形求作直角三角形备考指导：两圆一线两线一圆试题分析：（1）如图，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；合作探究如图，抛物线经过，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．2yaxbxcA-3,0（）,C(0,4)（1）如图1∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线上.2yaxbxc2930425541-645615-466abccabcacbyxx解得：抛物线的解析式为试题分析：（2）由于AB为直角边，分别以和∠ABM=90°（如图4）∠BAM=90°（如图3）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．两点间的距离公式及勾股定理（2）①当∠ABM=90°时，如图4所示2222222222225M2=5553454=3229mABBMAMmmm设（，）（）（）（）（2）①当∠ABM=90°时，如图4所示法二：利用三角形相似．02222052251531111222244511590,,4,2445555()().244115AG=AHMBAHMB904AGGHAGH~MGB=MG1151144=MG554GHMGbxaxxxyGHBDGBDDGBGBDDGGGGGBG抛物线的对称轴为同理：又，25M42511MH=MG+GH=+=9445M2G点的坐标为（,9）（2）②当∠BAM=90°时，如图3所示22222222222252=55534+3)=52211MmABAMBMmm设（，）（）（（（m-4））559-1122M综上所述：符合要求的点的坐标为（，）和（，）变式：若点P是抛物线对称轴上且在X轴下方的动点，是否存在点P使△ABP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。变式：若点P是抛物线对称轴上且在X轴下方的动点，是否存在点P使△ABP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。222255199199(,)(3)22225199(,5348080)22PAABPBmPAmm解：①若设则舍去或-225(5)480229529552954+4P42222PBABmm②若舍去或点的坐标为（，）。222255(3)(5)42251P-12PAPBmmm③若则点的坐标为（，）。519952955P(,)4-1PAB22222P综上所述：存在点的坐标为，（，），（，）使得为等腰三角形。反馈练习：1、（2015泸州12）在平面直角坐标系中，点A，B，动点C在轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A.2B.3C.4D.52、（2016广东）如图，抛物线与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为(2,2)(32,32)B12,2)1-2,2（或（）x小结：1、知识层面2、思想方面课后作业（走进中考）（2016泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；2ymxnxA3B（1,3），（4,0）在合作探究例题中：（1）X轴上是否存在点E使△ABE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由。（2）抛物线对称轴上是否存在动点M使△MAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由思考？