向量组的线性相关与线性无关

1向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,ntaaaR，12,,,tkkkR，称1122ttkakaka为12,,,taaa的一个线性组合。【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)ttttkkkakakaaaak。这样的表示是有好处的。2.线性表示设12,,,ntaaaR，nbR，如果存在12,,,tkkkR，使得1122ttbkakaka则称b可由12,,,taaa线性表示。1122ttbkakaka，写成矩阵形式，即1212(,,,)ttkkbaaak。因此，b可由12,,,taaa线性表示即线性方程组1212(,,,)ttkkaaabk有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)ttraaaraaab。3.向量组等价设1212,,,,,,,ntsaaabbbR，如果12,,,taaa中每一个向量都可以由12,,,sbbb线性表示，则称向量组12,,,taaa可以由向量组12,,,sbbb线性表示。如果向量组12,,,taaa和向量组12,,,sbbb可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。向量组等价的性质：2(1)自反性任何一个向量组都与自身等价。(2)对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。(3)传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为12,,,raaa，向量组II为12,,,sbbb，向量组III为12,,,tccc。向量组II可由III线性表示，假设1tjkjkkbyc，1,2,,js。向量组I可由向量组II线性表示，假设1sijijjaxb，1,2,,ir。因此，11111()ssttsijijjikjkkjjikjjkkjaxbxycyxc，1,2,,ir因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立！4.线性相关与线性无关设12,,,ntaaaR，如果存在不全为零的数12,,,tkkkR，使得11220ttkakaka则称12,,,taaa线性相关，否则，称12,,,taaa线性无关。按照线性表示的矩阵记法，12,,,taaa线性相关即齐次线性方程组1212(,,,)0ttkkaaak有非零解，当且仅当12(,,,)traaat。12,,,taaa线性无关，即31212(,,,)0ttkkaaak只有零解，当且仅当12(,,,)traaat。特别的，若tn，则12,,,nnaaaR线性无关当且仅当12(,,,)nraaan，当且仅当12(,,,)naaa可逆，当且仅当12(,,,)0naaa。例1.单独一个向量naR线性相关即0a，线性无关即0a。因为，若a线性相关，则存在数0k，使得0ka，于是0a。而若0a，由于10aa，10因此，a线性相关。例2.两个向量,nabR线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若,ab线性相关，则存在不全为零的数12,kk，使得120kakb。12,kk不全为零，不妨假设10k，则21kabk，故,ab平行，即对应分量成比例。如果,ab平行，不妨假设存在，使得ab，则0ab，于是,ab线性相关。例3.1000,1,0001线性无关，且任意1323xxxRx都可以由其线性表示，且表示方法唯一。事实上，121233100010001xxxxxxx5.线性相关与无关的性质(1)若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明：设12,,,ntaaaR，其中有一个为零，不妨假设0ta，则121000100taaa因此，12,,,taaa线性相关。4(2)若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设1212,,,,,,,ntsaaaR，12,,,taaa线性相关。存在不全为零的数12,,,tkkk，使得11220ttkakaka这样，1122120000ttskakaka12,,,tkkk不全为零，因此，1212,,,,,,,tsaaa线性相关。后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3)若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。证明：设12,,,ntaaaR为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为1212,,,ttaaabbb，12,,,tbbb是同维的列向量。令112212121122120tttttttakakakaaakkkbkbkbkbbb则11220ttkakaka。由向量组12,,,taaa线性相关，可以得到120tkkk。结论得证！(4)向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明：设12,,,ntaaaR为一组向量。必要性若12,,,taaa线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,tkkk，使得11220ttkakaka12,,,tkkk不全为零，设0jk，则5111111jjjjttjjkakakakaak充分性若12,,,taaa中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设ja可以表示成111,,,,,jjtaaaa的线性组合，则存在一组数111,,,,,jjtkkkk，使得111111jjjjjttakakakaka也就是1111110jjjjjttkakaakaka但111,,,1,,,jjtkkkk不全为零，因此，12,,,taaa线性无关。【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。(5)若12,,,ntaaaR线性无关，nbR，使得12,,,,taaab线性相关，则b可由12,,,taaa线性表示，且表示方法唯一。证明：12,,,,taaab线性相关，因此，存在不全为零的数121,,,,ttkkkk，使得112210tttkakakakb10tk，否则10tk，则11220ttkakaka。由12,,,taaa线性无关，我们就得到120tkkk，这样，121,,,,ttkkkk均为零，与其不全为零矛盾！这样，11221tttkakakabk因此，b可由12,,,taaa线性表示。假设11221122ttttbxaxaxayayaya，则111222()()()0tttxyaxyaxya由12,,,taaa线性无关，有11220ttxyxyxy，即61122,,,ttxyxyxy因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组1,,taa线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组1,,taa线性表示，即线性方程组1(,,)taaxb有解。而1,,taa线性无关，即1(,,)traat。因此，若有解，当然解唯一，即表示法唯一。(6)若线性无关向量组12,,,taaa可由向量组12,,,sbbb线性表示，则ts。证明：假设结论不成立，于是ts。12,,,taaa可由12,,,sbbb线性表示。假设112111112121121(,,,)ssssxxaxbxbxbbbbx，122221212222122(,,,)ssssxxaxbxbxbbbbx，……………………………………………………….12112212(,,,)tttttstssstxxaxbxbxbbbbx，任取12,,,tkkk，则111121122122221122121212(,,,)(,,,)tttttstsssttkxxxkkxxxkkakakaaaabbbkxxxk7由于111212122212ttssstxxxxxxxxx为一个st阶矩阵，而ts，因此，方程组1112121222120ttssstxxxxxxxxxx必有非零解，设为12tkkk，于是11220ttkakaka。因此，存在一组不全为零的数12,,,tkkk，使得11220ttkakaka。因此，向量组12,,,taaa线性相关，这与向量组12,,,taaa线性无关矛盾！因此，ts。(7)若两线性无关向量组12,,,taaa和12,,,sbbb可以相互线性表示，则ts。证明：由性质(6)，ts，st，因此，st。【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。(8)设12,,,ntaaaR，P为n阶可逆矩阵，则12,,,taaa线性无关当且仅当12,,,tPaPaPa线性无关。b可由12,,,taaa线性表示，当且仅当Pb可由12,,,tPaPaPa线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。证明：由于P可逆，因此1122112211220()0()()()0ttttttkakakaPkakakakPakPakPa112211221122()()()()ttttttkakakabPkakakabkPakPakPaPb如此，结论得证！86.极大线性无关组定义1设12,,,ntaaaR，如果存在部分向量组12,,,riiiaaa，使得(1)12,,,riiiaaa线性无关；(2)12,,,taaa中每一个向量都可以由12,,,riiiaaa线性表示；则称12,,,riiiaaa为12,,,taaa的极大线性无关组。【备注5】设12,,,ntaaaR，12,,,riiiaaa为其极大线性无关组。按照定义，12,,,taaa可由12,,,riiiaaa线性