线性系统理论1数学基础

第一章数学基础1.1线性空间与线性变换1.1.1线性空间定义在集合上赋予一定的结构或一定的要求,这个集合就称为一个特定的空间。定义1.1.1线性空间定义（11页）：设V是一个非空集合,P是一个数域……例1.1.2将mn个实数排成如下矩阵nmnnmmxxxxxxxxx212222111211用mnR表示mn维实矩阵全体的集合。设nmnnmmxxxxxxxxxA212222111211，nmnnmmyyyyyyyyyB212222111211或简记ijxA，ijyB规定RxAyxBAijijij,,则也是实数域R上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。例1.1.3设是线性空间，则不难验证是的子空间。它也称为由构成的子空间。mnRVVvRaavvvV,111Vv例1.1.4设是线性空间是的子空间，也称是由所生成的子空间例1.1.5设是线性空间，显然，那么是的子空间，称为零子空间。中个元或称为中的个向量，则maaa,,21maaa,,21mVmV1VVVV0VV01miRaaavvVlmm,,2,1,,22111111.1.2线性空间的基和维数121122121212,,,,1,2,,0,,,,,,:0(),,,mimmmmmuuuVaimauauauuuuuuuaaa定义1.1.4:设是中的一组向量可以重复如果存在一组不全为0的实数使则称为线性相关否则称为线性无关,此时必然有:例1.1.6在欧氏空间中选取个无关向量它们便构成的一组基。因此，也称为维欧氏空间。100,,010,00121neeenRnRnnR1.1.3线性变换例1.1.7记这里表示区间上一次可微函数的全体，表示区间上连续函数的全体。容易验证都是实数域上的线性空间。定义也不难验证是到的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子。baC,1baC,21,VVba,ba,RdtdTT1V2VbaCVbaCV,,,211例1.1.8令则为上的线性变换，易知是的核空间，即00:,,,2,1,12121xxxxTRniRxxxxVnninTVniRxxxNin,,3,2,02TKerTN显然，若向量构成的一组基，则由上述基的定义可知，对所有，均可以惟一表成我们称为关于基的坐标。若向量构成的另一组基，则有neee,,,21nRnRunnnnaaaeeeeaeaeau21212211TTnTTaaa21neee,,,21neee,,,21nRnnnnRPPeeeeee,,,,2121而对任意，有由此可知我们称为基和基之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是上的线性变换。nRvnnnnvvveeevvveeev21212121nnvvvPvvv2121neee,,,21neee,,,21PV1.2矩阵代数中的几个结果1.2.1矩阵必秩的条件定义1.2.1矩阵列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数；行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵的行秩与列秩相等。矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。1.2.2Vendermonde矩阵与友矩阵⑴Vendermonde矩阵及基性质⑵友矩阵及其性质1.2.3Cayley-Hamilton定理与化零多项式1.2.4豫解矩阵与Leverrier算法()()1.()/(2.5.),msadjsIADsmsA定理设为中所有元素的首一最大公约式则为矩阵的最小多项式1.3多项式矩阵1.3.1基本概念1.3.2初等变换多项式的初等行(列)变换,是指下列三种典型操作:①矩阵的两行(或两列)互换位置;②矩阵的某一行(或某一列)乘以非零的常数C;③矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(或列)的Φ(s)倍,Φ(s)为一个多项式。1.3.3Smith标准型定义1.3.3如果可以用一系列初选变换将多项式方阵A(s)化为多项式矩阵B(s),则称多项式A(s)和B(s)互相等价。等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质：①反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；②对称性，A(s)等价B(s)，B(s)等价A(s)；③传递性，A(s)等价B(s)，B(s)等价C(s)，A(s)等价C(s)。1.4有理分式矩阵及其互质分解1.4.1互质多项式矩阵1.4.2有理分式矩阵的互质分解1.4.31()sIAB矩阵的右既约分解11111221221121()()()()()()()()0()()()()()()()[],()[].1.4.:::1,:nrrrWssIABNsDsPsQsPssIABQsIQsQsQsQsQsQsQsRsQsRsN右既约分解式的求取:第一步:利用算法求取幺模矩阵和满足第二步将幺模1.3.1阵做如下分块其中第三步算取法112111()(),()()()()()()()()sQsDsQsNsDsWssIABNsDs则满足右既约分解式与。1.5Jordan分解1,,:,,.nnnnJordanARJVCVAVJVVAJAJordan矩阵的分解是指下述事实设则存在矩阵可逆,满足:其中为矩阵的特征向量矩阵为矩阵的标准型,1.5.1特征值的几何重数与代数重数矩阵某特征值的几何重数:矩阵的Jordan标准型与该特征值相关联的Jordan块的个数.矩阵某特征值的代数重数:矩阵的Jordan标准型与该特征值相关所有的Jordan块的阶数之和.1.5.1iinnii1i2iqlii=1则A设其矩阵的结构如上述.R,Jordan=maxppp,i=1,2,,lf(s)=(s-)记为矩阵A的最小多项式推论1.5.1循环矩阵的特征多项式与其最小命题多项式等同.1.5.2广义特征向量链121212(1.5.9)iijliiiiqpijijijijVVVVVVVVVvvv我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块iiijijVAiVJordanJ矩阵是与矩阵的第个特征值对应部分,其子块是与块相对应部分.12121110)0)..))0:ijijijpijijijiijiijiijijppiijijkkiijijijvvvAijpAIvAIvvAIvvAIvvv(((1.5.12)((上式中列向量称为矩阵的第个特征的第组广义特征向量链为该组特征向量链的长度广义特征向量链,(1.5的定义式.13)1,2,,,1,2,,,1,2,,ijikpjaqil1.5.3Jordan分解的求取1212,,,,1,2,,,1,2,,(,,,)(1.5.2)(,,,)(1.5.3)1,1,2,6(1.5.4)1.iujijiijiliiiiqiiijiipplqpjqilJdiagJJJJdiagJJJJjqJordani根据的值和式写出矩阵列的A标准型;1.6广义Sylvester矩阵,;,.,:,;nnnrnnrnAVBWVFARBRVCWCFnJordanWCBWSylvesterAVVFC其中:为价的矩阵当取定阵并令则上(1.6.1)式化为常(1规.的矩阵方程6.2)1.6.1求解问题与假设条件,,nnnrARBRnJordanFVWAVBWVF已知定常以及价矩阵求矩阵和的解析表达式.,如果一种解析解包含了方程的一切解,便称该解析解为完全的.12121212',[]).',,,,::.:,,,iiiiiiiiiqiiiqiiiiiqnCsIABABJordanFnisqqJordanFFFpppsmpppmmmn假设对于任何矩阵行满秩能控条件假设:矩阵含有个互异特征值其A1:第个特征值的几何重数为且与其相关联的个块s{(}A2的价数分别为从而特征值的代数重数为且应有此假设称为矩.FJordan阵的结构条件1.6.2完全解析解之一1.6.3完全解析解之二例1.6.1设则由算法1.4.1易得从而由定理1.6.2易得，以该组矩阵构成的广义sylvester矩阵方程的完全解析通解为300010011,011000,100100010FBA110,100012sssDssN1212111111113111fNfNfNdsdfNV1212111111113111fDfDfDdsdfDW