2004年全国高考数学试题理科数学(天津)卷

2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学(理工农医类)本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟奎屯王新敞新疆第一卷（选择题共60分）注意事项：1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上奎屯王新敞新疆2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑奎屯王新敞新疆如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号奎屯王新敞新疆答在试卷上的无效奎屯王新敞新疆参考公式：如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP奎屯王新敞新疆如果事件A、B相互独立，那么)()()(BPAPBAP奎屯王新敞新疆柱体（棱柱、圆柱）的体积公式ShV柱体奎屯王新敞新疆其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高奎屯王新敞新疆一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分奎屯王新敞新疆在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的奎屯王新敞新疆1.i是虚数单位，3)2)(1(iii=（）A.i1B.i1C.i31D.i312.不等式21xx的解集为（）A.)0,1[B.),1[C.]1,(D.),0(]1,(3.若平面向量b与向量a)2,1(的夹角是180，且53b，则b＝（）A.)6,3(B.)6,3(C.)3,6(D.)3,6(4.设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023Fyx、F2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1PF，则||2PF（）A.1或5B.6C.7D.95.若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a=（）A.42B.22C.41D.216.如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是1CC、AD的中点，那么异面直线OE和1FD所成的角的余弦值等于（）A.510B.515C.54D.327.若)1,2(P为圆25)1(22yx的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A.03yxB.032yxC.01yxD.052yx8.已知数列}{na，那么“对任意的*Nn，点),(nnanP都在直线12xy上”是“}{na为等差数列”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.函数]),0[)(26sin(2xxy为增函数的区间是（）A.]3,0[B.]127,12[C.]65,3[D.],65[10.如图，在长方体1111DCBAABCD中，AB=6，AD=4，31AA奎屯王新敞新疆分别过BC、11DA的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFDAEAVV，11112DFCFAEBEVV，CFCBEBVV11113奎屯王新敞新疆若1:4:1::321VVV，则截面11EFDA的面积为（）A.104B.38C.134D.1611.函数123xy（01x）的反函数是（）A.)31(log13xxyB.)31(log13xxyC.)131(log13xxyD.)131(log13xxy12.定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(，则)35(f的值为（）A.21B.21C.23D.23第二卷（非选择题共90分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上奎屯王新敞新疆2.答卷前将密封线内的项目填写清楚奎屯王新敞新疆二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分奎屯王新敞新疆把答案填在题中横线上奎屯王新敞新疆13.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5:3:2，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件奎屯王新敞新疆那么此样本的容量n=奎屯王新敞新疆14.如果过两点)0,(aA和),0(aB的直线与抛物线322xxy没有交点，那么实数a的取值范围是奎屯王新敞新疆15.若)(...)21(2004200422102004Rxxaxaxaax，则)(...)()()(20040302010aaaaaaaa奎屯王新敞新疆（用数字作答）16.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个奎屯王新敞新疆（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤奎屯王新敞新疆17.（本小题满分12分）已知21)4tan(，（1）求tan的值；（2）求2cos1cos2sin2a的值奎屯王新敞新疆18.（本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数奎屯王新敞新疆（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数1”的概率奎屯王新敞新疆19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F奎屯王新敞新疆（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小奎屯王新敞新疆20.（本小题满分12分）已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值奎屯王新敞新疆（1）讨论)1(f和)1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程奎屯王新敞新疆21.（本小题满分12分）已知定义在R上的函数)(xf和数列}{na满足下列条件：1211),...,4,3,2)((,aanafaaann，)...,4,3,2)(()()(11naakafafnnnn，其中a为常数，k为非零常数奎屯王新敞新疆（1）令nnnaab1*)(Nn，证明数列}{nb是等比数列；（2）求数列}{na的通项公式；（3）当1||k时，求nnalim奎屯王新敞新疆22.（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（0c）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点奎屯王新敞新疆（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OPOQ，求直线PQ的方程；（3）设APAQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FMFQ奎屯王新敞新疆参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分奎屯王新敞新疆1D2A3A4C5A6B7A8B9C10C11D12D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分奎屯王新敞新疆13.8014.)413,(15.200416.300三.解答题：17.本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分奎屯王新敞新疆（1）解：tan1tan1tan4tan1tan4tan)4tan(由21)4tan(，有21tan1tan1解得31tan（2）解法一：1cos21coscossin22cos1cos2sin22265213121tancos2cossin2解法二：由（1），31tan，得cos31sin∴22cos91sin22cos91cos1∴109cos2于是541cos22cos2，53cos32cossin22sin2代入得65541109532cos1cos2sin218.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力奎屯王新敞新疆满分12分奎屯王新敞新疆（1）解：可能取的值为0，1，2奎屯王新敞新疆2,1,0,)(36342kCCCkPkk奎屯王新敞新疆所以，的分布列为012P515351（2）解：由（1），的数学期望为1512531510E（3）解：由（1），“所选3人中女生人数1”的概率为54)1()0()1(PPP19.本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分奎屯王新敞新疆方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO奎屯王新敞新疆∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，∴PA//EO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PDDC∵PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DEPC奎屯王新敞新疆①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC奎屯王新敞新疆∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC奎屯王新敞新疆而DE平面PDC，∴BCDE奎屯王新敞新疆②由①和②推得DE平面PBC奎屯王新敞新疆而PB平面PBC，∴DEPB又EFPB且DEEFE，所以PB⊥平面EFD奎屯王新敞新疆（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角C—PB—D的平面角奎屯王新敞新疆由（2）知，,DEEFPDDB奎屯王新敞新疆设正方形ABCD的边长为a，则,2PDDCaBDa223PBPDBDa，222PCPDDCa1222DEPCa奎屯王新敞新疆在RtPDB中，2633PDBDaaDFaPBa奎屯王新敞新疆在RtEFD中，232sin263aDEEFDDFa，∴3EFD奎屯王新敞新疆所以，二面角C—PB—D的大小为3奎屯王新敞新疆方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DCa奎屯王新敞新疆（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG奎屯王新敞新疆依题意得(,0,0),(0,0,),(0,,)22aaAaPaE奎屯王新敞新疆∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(,,0)22aa且(,0,),(,0,)22aaPAaaEG奎屯王新敞新疆∴2PAEG，这表明PA//EG奎屯王新敞新疆而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA//平面EDB奎屯王新敞新疆（2）证明；依题意得(,,0)Baa，(,,)PBaaa奎屯王新敞新疆又(0,,)22aaDE，故220022aaPBDE奎屯王新敞新疆∴PBDE奎屯王新敞新疆由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD奎屯王新敞新疆（3）解：设点F的坐标为000(,,)xyz，PFPB，则000(,,)(,,)xyzaaaa奎屯王新敞新疆从而000,,(1)xayaza奎屯王新敞新疆所以00011(,,)(,(),())2222aaFExyzaaa奎屯王新敞新疆由条件EFPB知，0FEPB，即22211()()022aaa，解得13∴点F的坐标为2(,,)333aaa，且(,,)366aaaFE，2(,,)333aaaFD∴22220333aaaPBFD即PBFD，故EFD是二面角C—PB—D的平面角奎屯王新敞新疆∵222291896aaaaFEFD，且2226||936366aaaFEa，22246||9993aaaFDa，∴216cos2||||6663aFEFDEFDFEFDaa奎屯王新敞新疆∴3EFD奎屯王新敞新疆所以，