2020年全国研究生考试数学(二)真题+答案详解

0x(òò002020考研数学二真题及解析完整版一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.x®0+，下列无穷小量中最高阶是（）A.òx(et2-1)dtB.ò0ln1+t3)dtC.sinxsint2dt01-cosxD.0答案：Dsin3tdt解析:A.òx(et2-1)dt~òxt2dt=x3003B.òln(1+t3)dt~òt2dt=x2xx325005C.òsinxsint2dt~òxt2dt=1x30031-cosx1x23D.òsin3tdt~ò2t2dt5=2æ1x2ö2=1x55ç2÷102èø2.f(x)=A.1B.2C.3D.4答案：C1ex-1ln|1+x|(ex-1)(x-2)第二类间断点个数（）解析：x=0,x=2,x=1,x=-1为间断点t221x®0x®0(exx®0x(1-x)xdxlimf(x)=lim1ex-1ln|1+x|=lim-1)(x-2)e-1ln|1+x|-2x=-e-12limln|x+1|x=-e-12x=0为可去间断点1limf(x)=limex-1ln|1+x|=¥x®2x®2(ex-1)(x-2)x=2为第二类间断点1limf(x)=limex-1ln|1+x|=0x®1-x®1-(ex-1)(x-2)limf(x)=lim1ex-1ln|1+x|=¥x®1+x®1+(ex-1)(x-2)x=1为第二类间断点1limf(x)=limex-1ln|1+x|=¥x®-1x®-1(ex-1)(x-2)x=-1为第二类间断点3.òdx=π2A.4π2B.8πC.4πD.8答案：A解析：令u=，则原式=ò0arcsinu·2udu1arcsinxx(1-x)u2(1-u2)x®01-u2¶f¶xònnníî=21arcsinudu0pt令u=sint2ò2costdt0cost=2×1t2pp22=2044.f(x)=x2ln(1-x),n³3时，f(n)(0)=n!A.-B.n-2n!n-2(n-2)!C.-n(n-2)!D.n答案：A解析：f(x)=x2ln(1-x),n³3f(n)(x)=C0x2[ln(1-x)](n)+C1(x2)¢[ln(1-x)](n-1)+C2(x2)¢[ln(1-x)](n-2)=(n-1)!(-1)(1-x)n[ln(1-x)](n-1)=(n-2)!(-1)(1-x)n-1[ln(1-x)](n-2)=(n-3)!(-1)(1-x)n-2(x2)¢=2x;(x2)¢=2.\f(n)(x)=x2×(n-1)!(-1)+2n×x×(n-2)!(-1)+2n×(n-1)×(n-3)!(-1)\f(n)(0)=-(1-x)nn!.(1-x)n-12(1-x)n-2n-2ìxyxy¹05.关于函数f(x,y)=ïxy=0ïyx=0给出以下结论①=1(0,0)¶2f¶x¶y¶f¶x=②=1(0,0)③limf(x,y)=0(x,y)®(0,0)④limlimf(x,y)=0正确的个数是y®0x®0A.4B.3C.2D.1答案：B解析：①=limf(x,0)-f(0,0)(0,0)x®0x=limx-0=1x®0x¶f②xy¹0时，¶x=y¶fy0时，¶x=1¶fx=0时，¶x=0=limfx¢(0,y)-fx¢(0,0)=lim-1不存在.(0,0)y®0yy®0y③xy¹0,limf(x,y)=limxy=0(x,y)®(0,0)(x,y)®(0,0)y=0,limf(x,y)=limx=0(x,y)®(0,0)(x,y)®(0,0)x=0,limf(x,y)=limy=0(x,y)®(0,0)(x,y)®(0,0)\lim(x,y)®(0,0)f(x,y)=0④xy¹0,limf(x,y)=limxy=0x®0x®0y=0,limf(x,y)=limx=0x®0x®0x=0,limf(x,y)=limy=yx®0x®0从而limlimf(x,y)=0.y®0x®0¶x¶y6.设函数f(x)在区间[-2,2]上可导，且f¢(x)f(x)0，则（）f(-2)A.1f(-1)f(0)B.f(-1)f(1)C.f(-1)f(2)D.f(-1)ee2e3答案：B解析：由f¢(x)f(x)0知f¢(x)-10f(x)即(lnf(x)-x)¢0令F(x)=lnf(x)-x，则F(x)在[-2,2]上单增因-2-1，所以F(-2)F(-1)即lnf(-2)+2lnf(-1)+1f(-1)ef(-2)同理，-10,F(-1)F(0)即lnf(-1)+1lnf(0)f(0)ef(-1)7.设四阶矩阵A=(aij)不可逆，a12的代数余子式A12¹0,a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组.A*为A的伴随矩阵.则方程组A*x=0的通解为（）.A.x=k1a1+k2a2+k3a3，其中k1,k2,k3为任意常数B.x=k1a1+k2a2+k3a4，其中k1,k2,k3为任意常数C.x=k1a1+k2a3+k3a4，其中k1,k2,k3为任意常数.D.x=k1a2+k2a3+k3a4，其中k1,k2,k3为任意常数答案：C解析：∵A不可逆112334èøèø∴|A|=0∵A12¹0r(A*)=1∴r(A)=3∴A*x=0的基础解系有3个线性无关的解向量.A*A=|A|E=0∴A的每一列都是A*x=0的解又∵A12¹0∴a1,a3,a4线性无关∴A*x=0的通解为x=ka+ka+ka8.设A为3阶矩阵，a1,a2为A属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征æ100ö值-1的特征向量，则满足P-1AP=ç0-10÷的可逆矩阵P可为（）.A.(a1+a3,a2,-a3)B.(a1+a2,a2,-a3)C.(a1+a3,-a3,-a3)D.(a1+a2,-a3,-a2)答案：D解析：Aa1=a1,Aa2=a2Aa3=-a3ç÷ç001÷æ100ö!P-1AP=ç0-10÷ç÷ç001÷\P的1，3两列为1的线性无关的特征向量a1+a2,a2P的第2列为A的属于-1的特征向量a3.∴∵dt11111x13x100-\P=(a1+a2,-a3,a2)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.ìx=t2+19.设ï，则=.íïîy=ln解析：(t+t2+1)t=1dy1æ1+tödyt+t2+1çt2+1÷=dt=èødxdxtdt=1tdædyödy2ædyöçdt÷ç÷èø2=èø=dt=tdx2=-dxt2+1t3=-dxtdtt=110.ò0dyòyx3+1dx=.解析：ò0dyòyx3+1dx2=ò0dxò0x3+1dy2=òx+1dxòdy=ò0x3+1x2dxd2ydx2t2+1t2+1dy2dx2d1aaò=1ò11(x3+1)2d(x3+1)30=1×23331(x3+1)20=2æ3-öç221÷9èø11.设z=arctan[xy+sin(x+y)]，则dz|(0,p)=.解析:dz=¶zdx+¶zdy¶x¶z=¶x1[y+cos(x+y)],=π-1¶x¶z=¶y¶z∴1+[xy+sin(x+y)]21[x+cos(x+y)],1+[xy+sin(x+y)]2=(π-1)dx-dy(0,π)(0,π)=-1¶x(0,π)12.斜边长为2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为r，则该平板一侧所受的水压力为解析：建立直角坐标系，如图所示F=2ò0rgx×(a-x)dx=2rgò0ax-xdx2a=2rgæax2-1x3öç23÷èø0=1rga3313.设y=y(x)满足y¢+2y¢+y=0，且y(0)=0,y¢(0)=1，则+¥y(x)dx=0解析：特征方程l2+2l+1=0\l1=l2=-1!y(x)=(C+Cx)e-x12¶z¶x¶z¶y0òò=+¥y(x)dx=-+¥y¢(x)+2y¢(x)dx00=-[y¢(x)+2y(x)]+¥=[y¢(0)+2y(0)]=1a0-11014.行列式a1-1=-11a0解析：1-10aa0-11a0-110a1-1=0a1-10a-1+a21a-1+a21=0a1-1=-a1-1-11a00aa00aaaa2-21=-a2-1=a4-4a2.00a三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）x1+x求曲线y=(1+x)x(x0)的斜渐近线方程.解析：limyx1+xlim=limx®+¥xxxxx®+¥(1+x)xxx®+¥(1+x)=exlnxlimx®+¥exln(1+x)=limex(lnx-ln(1+x))x®+¥-11a0-11a01-10a00aaç1+x÷=-1eçxç÷-1ò=limex®+¥x×lnx+1-11+xxlnæ1-1ö=limeç1+x÷èøx®+¥=limex®+¥x×æ-1öèølim(y-e-1x)x®+¥=limæx1+x-e-1öx®+¥è(1+x)ø=limxæxö-e÷x®+¥è(1+x)øæxlnxö=-limx×çe1+x-e1÷x®+¥èø=-æxlnx+1ölimxe1çe1+x-1÷x®+¥èø=lime-1x×æxlnx+1öx®+¥ç1+x÷èø11×lntt+11+1=lime-1tt®0+tln1+t=lime-1t+1t®0+t2=lime-1t-ln(1+t)=1e-1t®0+t22∴曲线的斜渐近线方程为y=e-1x+1e-1216.（本题满分10分）limf(x)=1,g(x)=1f(xt)dt,求g'(x)已知函数f(x)连续且x®0x0续.并证明g'(x)在x=0处连xxx1xï0íòx解析：因为limf(x)=1\f(0)=limf(x)=0x®0xx®0所以g(0)=ò0f(0)dt=0因为g(x)=ò1f(xt)dtxt=u1òxf(u)du0x0当x¹0时，g¢(x)=xf(x)-ò0f(u)dux2当x=0时，g¢(0)=limg(x)-g(0)=limò0f(u)du=1limf(x)=1ìxf(u)du,x®0x¹0x-0x®0x22x®0x2\g¢(x)=ïx2ï1ïî2x=0又因为limg¢(x)=limxf(x)-xf(u)dux®0x®0x2ò0éxf(u)duù=limêf(x)-ò0ú=1-1=1x®0êêëxx2ú22úû\g¢(x)在x=0处连续17.（本题满分10分）求二元函数f(x,y)=x3+8y3-xy的极值解析：求一阶导可得¶f=3x2-y¶x¶f=24y2-x¶yì¶f=0ìx=1ï¶xí¶fìx=0ï6íy=0í1ï=0î令ïî¶y求二阶导可得ïy=î12¶2f¶x2=6x¶2f¶x2y=-1¶2f¶y2=48y当x=0,y=0时.A=0.B=-1.C=0-可得,1+1x2+1æ3öèøçx÷×AC-B20故不是极值.当x=1y=1时612A=1.B=-1.C=4.AC-B20.A=10故æ1,1ö且极小值æ11öæ1ö3ç612÷æ1ö311极小值fç,÷=ç÷+8ç÷-6´=-è612øè6øè12ø1221618.已知1x2+2x，求f(x)，并求直线y=1，与函数f(x)所2f(x)+xf()=y=x1+x222围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积。2æ1öx2+2x解析：①!2f(x)+xfç÷=…①2fæ1ö+1èøx2f(x)=èxø1+21x2x=1+x21+2x…②①´2-②´x2得f(x)=x②æ1ö23x2V=p×ç2÷3-pç2÷-ò1pdxx2+1èøèø=33p-1p-p×+p24412=p2-1p-3p12442x1+x2x2+y2x2+y2òò4(xêp19.（本题满分10分）平面D由直线x=1,x